Здавалка
Главная | Обратная связь

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ.



12.1.Розв¢зати рівняння .

Розв’язання.

Знайдемо спочатку раціональні корені рівняння (якщо вони є). Раціональними коренями тут можуть бути числа виду:

Знайдемо межі дійсних коренів даного рівняння:

.

Всі можливі корені входять в цей інтервал.

Знаходимо: .

Поставимо умову, щоб числа були цілими:

Задовольняє умову . Перевіримо за схемою Горнера чи є це коренем даного рівняння:

  -5 -2
½ -4

 

= 1/2 є коренем многочлена. Знаходимо інші корені:

 

Отже, корені .

12.2. Знайти раціональні корені: .

Розв’язання.

Робимо заміну:

 

 

Повертаємось до змінної . Маємо два рівняння:

 

(1) або

(2)

 

Раціональними коренями рівняння (1) можуть бути числа 1, а рівняння (2): 1, 3.Перевіркою переконаємося, що коренями є

 

12.3.Розкласти на незвідні у полі множники многочлен .

Розв’язання.

.

12.4.Знайти кратність коренів многочлена

 

Розв’язання.

Коренями можуть бути числа

Скористаємося схемою Горнера:

 

  -1 -7  
-4 -4 1-корінь
  Перевірка кратності кореня
    Перевірка кратності кореня
-1     -1-корінь
-1       Перевірка кратності кореня
      2-не є коренем
-2       -2-корінь
-2         Перевірка кратності кореня
-2           Перевірка кратності кореня

 

Як бачимо рівняння має три кореня: Корені 1 і -2 мають кратність 2,

а -1- це корінь кратності 1.

 

 

§ 13. Алгебраїчні і трансцендентні числа.
Будова простого алгебраїчного розширення поля.

Нехай – деяке числове поле.

Означення 1. Число α називається алгебраїчним відносно поля Р, якщо воно є коренем деякого многочлена над полем .

Число, яке не є алгебраїчним відносно поля називається трансцендентним відносно поля Р.

Означення 2. Якщо α є алгебраїчним числом відносно поля , то в кільці існує єдиний незвідний зведений ( = 1) многочлен , який має α своїм коренем, а його степінь є найменшим серед степенів усіх многочленів з коренем α.

Означення 3. Мінімальним полем {M}, що містить дану числову множину М, називається поле, яке є перетином усіх числових полів, що містять множину М.

Означення 4. Поле , утворене приєднанням до поля числа α, алгебраїчного (трансцендентного) відносно поля , називається простим алгебраїчним (трансцендентним) розширенням поля Р.

Теорема 1.Поле , утворене з поля приєднанням кореня α, незвідного у полі многочлена -го степеня , складається з усіх чисел виду , де - довільні числа з поля .

Наслідок. Якщо α - корінь многочлена другого степеня над полем , причому , то просте алгебраїчне розширенням поля Р, утворене приєднанням числа α, складається з усіх чисел виду , де і – довільні числа з поля .

Означення 5. Якщо корінь α квадратного тричлена над полем не належить полю , то просте алгебраїчне розширенням , утворене з поля приєднанням до нього числа α, називається квадратичним розширенням

Поля Р.

Означення 6. Розширення поля називається скінченим, якщо в полі існує така лінійно незалежна відносно поля система елементів , що будь-який елемент є лінійною комбінацією цих елементів з коефіцієнтами з поля : . Система - базис поля відносно поля .

Теорема 2. Просте алгебраїчне розширенням , утворене з поля приєднанням алгебраїчного відносно числа α, є скінченим розширенням поля . Степінь розширення над полем дорівнює степеню числа a відносно .

Наслідок. Степінь будь-якого квадратичного розширення числового поля рівне 2.

Означення 7. Розширення є складним розширенням поля Р, якщо існує такий ланцюжок розширень , що , причому кожне є алгебраїчним числом над полем (при ).

Означення 8. Розширення поля називається алгебраїчним, якщо всі його елементи є алгебраїчними відносно поля .

 

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.