ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ.
12.1.Розв¢зати рівняння . Розв’язання. Знайдемо спочатку раціональні корені рівняння (якщо вони є). Раціональними коренями тут можуть бути числа виду: Знайдемо межі дійсних коренів даного рівняння: . Всі можливі корені входять в цей інтервал. Знаходимо: . Поставимо умову, щоб числа були цілими: Задовольняє умову . Перевіримо за схемою Горнера чи є це коренем даного рівняння:
= 1/2 є коренем многочлена. Знаходимо інші корені:
Отже, корені . 12.2. Знайти раціональні корені: . Розв’язання. Робимо заміну:
Повертаємось до змінної . Маємо два рівняння:
(1) або (2)
Раціональними коренями рівняння (1) можуть бути числа 1, а рівняння (2): 1, 3.Перевіркою переконаємося, що коренями є
12.3.Розкласти на незвідні у полі множники многочлен . Розв’язання. . 12.4.Знайти кратність коренів многочлена
Розв’язання. Коренями можуть бути числа Скористаємося схемою Горнера:
Як бачимо рівняння має три кореня: Корені 1 і -2 мають кратність 2, а -1- це корінь кратності 1.
§ 13. Алгебраїчні і трансцендентні числа. Нехай – деяке числове поле. Означення 1. Число α називається алгебраїчним відносно поля Р, якщо воно є коренем деякого многочлена над полем . Число, яке не є алгебраїчним відносно поля називається трансцендентним відносно поля Р. Означення 2. Якщо α є алгебраїчним числом відносно поля , то в кільці існує єдиний незвідний зведений ( = 1) многочлен , який має α своїм коренем, а його степінь є найменшим серед степенів усіх многочленів з коренем α. Означення 3. Мінімальним полем {M}, що містить дану числову множину М, називається поле, яке є перетином усіх числових полів, що містять множину М. Означення 4. Поле , утворене приєднанням до поля числа α, алгебраїчного (трансцендентного) відносно поля , називається простим алгебраїчним (трансцендентним) розширенням поля Р. Теорема 1.Поле , утворене з поля приєднанням кореня α, незвідного у полі многочлена -го степеня , складається з усіх чисел виду , де - довільні числа з поля . Наслідок. Якщо α - корінь многочлена другого степеня над полем , причому , то просте алгебраїчне розширенням поля Р, утворене приєднанням числа α, складається з усіх чисел виду , де і – довільні числа з поля . Означення 5. Якщо корінь α квадратного тричлена над полем не належить полю , то просте алгебраїчне розширенням , утворене з поля приєднанням до нього числа α, називається квадратичним розширенням Поля Р. Означення 6. Розширення поля називається скінченим, якщо в полі існує така лінійно незалежна відносно поля система елементів , що будь-який елемент є лінійною комбінацією цих елементів з коефіцієнтами з поля : . Система - базис поля відносно поля . Теорема 2. Просте алгебраїчне розширенням , утворене з поля приєднанням алгебраїчного відносно числа α, є скінченим розширенням поля . Степінь розширення над полем дорівнює степеню числа a відносно . Наслідок. Степінь будь-якого квадратичного розширення числового поля рівне 2. Означення 7. Розширення є складним розширенням поля Р, якщо існує такий ланцюжок розширень , що , причому кожне є алгебраїчним числом над полем (при ). Означення 8. Розширення поля називається алгебраїчним, якщо всі його елементи є алгебраїчними відносно поля .
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|