Позбавлення від алгебраїчної ірраціональності в знаменнику дробу.
Основні методи розв’язування задач на позбавлення від ірраціональності в знаменнику дробу ґрунтуються на таких фактах : 1) Якщо - многочлен від однієї змінної над полем з коренями (які можуть і не належати ), то будь-який симетричний многочлен над полем при набуває значення, яке є елементом поля . 2) Поле , утворене з числового поля приєднанням кореня α, незвідного у полі многочлена -го степеня , складається з усіх чисел виду , де - довільні числа з поля .
Крім цього, використовуються формули скороченого множення:
Нехай дано дріб , де і - многочлени над полем Q, а α - ірраціональний корінь незвідного многочлена з раціональними коефіцієнтами ( 0). Слід виконати тотожні перетворення даного дробу, щоб позбутись ірраціональності в знаменнику. Якщо , то ділячи на з остачею, отримаємо рівність . Підставляючи значення дістанемо , тому , де . Отже завжди можна вважати степінь знаменника даного дробу меншим за . Але тоді зрозуміло, що , бо - незвідний. Нехай тепер і – такі многочлени над Q, що (1) Тоді і (2)
Таким чином, щоб знищити ірраціональність у знаменнику дробу , де α - корінь незвідного многочлена , потрібно виконати такі дії : 1) якщо , то замінити на , де - остача від ділення на ; 2) знайти многочлени і , які задовольняють 3) обчислити і подати дріб за формулою (2).
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ. 14.1.Позбавитися від ірраціональності в знаменнику дробу де . Розв’язання. Нехай , а - мінімальний многочлен . Розділимо на “кутом”: - _ х4 - 4х - 2 | x2 + 1 - x4 + x2 | x2 - 1 - _ - x2 - 4x - 2 - x2 - 1 -4x - 1 -
Маємо .
Ділимо на :
- _ х2 + 1 |-4x – 1 - х2 +¼ х |-¼ x + 1/16 - _ -¼ x + 1 -¼ x – 1/16 17/16 -
Отже ( , ) = 1 – взаємно прості і = + . Тоді
14.2.Позбавитися від ірраціональності в знаменнику дробу . Розв’язання. Заданий дріб є значенням раціонального дробу при , яке є незвідним у полі Q многочлена . Многочлени взаємно прості. Знайдемо лінійне представлення їхнього найбільшого дільника. Ділення многочленів виконаємо ”кутом” :
_ х3 – 2 |3x2 + x + 1 х3 + 1/3х2+ 1/3х | 1/3x – 1/9 _ - 1/3х2 – 1/3х – 2 - 1/3х2 – 1/9х – 1/9 - 2/9х – 17/9
Тодi _ 3x2 + x + 1 |-2/9x – 17/9 3x2 + 51/2x |-27/2x + 441/4 _ - 49/2x + 1 - 49/2x - 833/4 837/4
Звідси
Оскільки , то
14.3.Позбавитися від ірраціональності в знаменнику дробу . Розв’язання. Застосуємо формулу скороченого множення : Тоді маємо:
14.4.Позбавитися від ірраціональності в знаменнику дробу Розв’язання. I спосіб. Введемо позначення . Тоді дріб набуває вигляду , де - елементарний многочлен від трьох змінних. Складемо вираз із степеневих сум з парними індексами так, щоб у ньому множником був многочлен :
, тоді
Звідси .
Враховуючи, що , маємо .
II спосіб. Домножимо даний дріб на спряжне і виконаємо ряд перетворень, використовуючи формулу скороченого множення:
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|