Главная | Обратная связь

Теорема 16,17 (Критерий Коши).

Для того, чтобы функция имела предел в точке a, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла в этой точке условию Коши.

Доказательство. Определение.

Пусть a - предельная точка области определения f(x). Говорят, что функция f(x) удовлетворяет в точке a условию Коши, если " e > 0 $ d > 0, " x' и x'', 0 <½x' - a½ < d, 0 <½x''- a½ < d: ½ f(x') - f(x'')½ < e. Условие Коши для функции аналогично условию фундаментальности последовательности.

Необходимость. Дано: $ f(x) = b. Требуется доказать: f(x) удовлетворяет в точке a условию Коши. Зададим произвольное e > 0. Согласно определению предела функции по Коши, $ d > 0, " x' Î {0 <½x' - a½ < d}, ½ f(x') - b½ < , и $ d > 0, " x'' Î {0 <½x'' - a½ < d}, ½ f(x'') - b½ < . Отсюда следует, что " x' Î {0 <½x' - a½ < d} и " x'' Î {0 <½x'' - a½ < d}: ½ f(x') - f(x'')½ = ½( f(x') - b) - (f(x'') - b)½£ + < e. А это и означает, что f(x) удовлетворяет в точке a условию Коши. Необходимость доказана.

Достаточность. Дано: f(x) удовлетворяет в точке a условию Коши. Требуется доказать: $ f(x). Согласно определению предела функции по Гейне, нужно доказать, что " {x_n} ® a (x_n ¹ a) {f(x_n)} сходится, причем сходится к одному и тому же числу для всех {x_n} ® a (x_n ¹ a). Рассмотрим произвольную последовательность {x_n} ® a (x_n ¹ a). Докажем сначала, что последовательность {f(x_n)} - фундаментальная. Зададим произвольное e > 0. Согласно условию (1), $ d > 0, " x' и x'', 0 <½x' - a½ < d, 0 <½x''- a½ < d: ½ f(x') - f(x'')½ < e. (2) В свою очередь, так как {x_n} ® a и x_n ¹ a, то $ N, " n > N: 0 < ½x_n - a½< d, " m > N: 0 < ½x_m - a½< d. (3) Из (2) и (3) следует, что " n > N и " m > N: ½f(x_n) - f(x_m)½ < e. А это и означает по определению, что последовательность {f(x_n)} - фундаментальная. Следовательно, она сходится. Итак, мы доказали, что " {x_n} ® a (x_n ¹ a): {f(x_n)} сходится. Остается доказать, что для всех таких последовательностей {x_n}: {f(x_n)} сходится к одному и тому же числу. Пусть для {x_n} ® a (x_n ¹ a): {f(x_n)} ® b, а для {x_n'} ® a (x_n' ¹ a): {f(x_n')} ® b'. Нужно доказать, что b' = b. Составим последовательность {x_n''} = x₁ , x₁' , x₂ , x₂' , … , x_n , x_n'' , … {x_n''} ® a (x_n'' ¹ a). Согласно доказанному, {f(x_n'')} ® b'', но {f(x_n)} и {f(x_n')} - подпоследовательности последовательности {f(x_n'')}, следовательно, эти подпоследовательности сходятся к b'', а это и означает, что b = b' = b'', что и требовалось доказать. Теорема доказана.

Теорема 18, 19,20.

Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы в точке х, то их сумма, разность, произведение, частное(при условии v(x) ¹ 0) также дифференцируемы в точке х, и справедливы равенства: [u(x) ± v(x)]' = u'(x) ± v'(x). [u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x). = (v(x) ¹ 0)

Доказательство: Докажем, например формулу 2). Обозначим у = u(x)v(x). Тогда Dу = u(x+Dх)v(x+Dх) - u(x)v(x) = [u(x + Dх) - u(x)]v(x+ Dх) + u(x)[v(x + Dх) - v(x)] = Du×v(x + Dх) + u(x) Dv. Поэтому

= v(x +Dх) + u(x) Отсюда получаем:

¯ ¯ ¯ ¯ при Dх ® 0

u'(x) v(x) u(x) v'(x).

= u'(x)v(x) + u(x)v'(x), то есть y' = (uv)' = u'v + uv'. Формула 2) доказана.

Теорема 21.

Пусть функция t = j(x) дифференцируема в точке х₀, а функция y = f(t) дифференцируема в точке t₀, где t₀ = j(х₀). Тогда сложная функция F(x) = f(j(x)) дифференцируема в точке х₀, и имеет место формула F'(х₀) = f'(t₀)×j'(х₀) = f'(j(х₀))×j'(х₀).

Доказательство: Нужно доказать, что приращение функции y = F(x) = f(j(x)) в точке х₀ можно представить в виде: Dy = f'(t₀)j'(х₀)Dx + a(Dx)Dx, (1), где a(Dx) ® 0 при Dx ® 0. a(0) = 0. Зададим в точке х₀ приращение аргумента х, равное Dx. Тогда функция t = j(x) получит приращение Dt = j( х₀ + Dх) - j(х₀). Так как t = j(x) дифференцируема в точке х₀ +, то Dt можно представить в виде : Dt = j'(х₀)Dx + b(Dx)Dx. (2), где b(Dx) ® 0 при Dx ® 0. b(0) = 0. Приращению Dt соответствует приращение Dy = f(t₀+Dt) + f'(t₀), функции y = f(t). Так как y = f(t) дифференцируема в точке t₀, то Dy можно представить в виде: Dy = f'(t₀) Dt + g(Dt)Dt. (2), где g(Dt) ® 0 при Dt ® 0. g(0) = 0. (3) Подставляя (2) в (3), получим: Dy = f'( t₀ )(j'(х₀)Dx + [f'(t₀)b(Dx) + gj'(х₀) + gb(Dx)]Dx, где [f'(t₀)b(Dx) + gj'(х₀) + gb(Dx)] Û a(Dx). Очевидно, что a(Dx) ® 0 при Dх ® 0, Dх ® 0. Тем самым доказано равенство (1), и, значит, 4.4 доказана.

Теорема 22.

Пусть функция y = f(x) определена, строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки x₀, дифференцируема в точке x₀, причём производная f '(x₀) ¹ 0. Тогда в некоторой окрестности точки у₀(где у₀ = f(x₀)) существует обратная функция x = f ^-1(y), эта обратная функция дифференцируема в точке у₀, и f ^-1'(y₀)= .

Доказательство: Из условий теоремы следует: $ [a, b]: y = f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на [a, b]. причём a < x₀ < b. Поэтому, согласно теореме 3.5, множеством значений f(x), рассматриваемой на [a, b], является сегмент Y = [f(a), f(b)], на Y существует обратная функция x = f ^-1(y), строго монотонная и непрерывная. При этом y₀ Î (f(a), f(b)). Зададим приращение Dy ¹ 0 аргументу обратной функции в точке y₀. Обратная функция получит приращение Dх = f ^-1(y₀ + Dy) - f ^-1(y₀), причем Dх ¹ 0 в силу строгой монотонности обратной функции. Рассмотрим равенство: = . (1)Пусть Dy ® 0, тогда Dх ® 0 в силу непрерывности обратной функции. Но при Dх ® 0 знаменатель в правой части равенства (1)стремится к f '(x₀), причем по условию f '(x₀) ¹ 0. Поэтому при Dy ® 0 предел правой части равен . Следовательно при Dy ® 0 существует предел левой части равенства (1), то есть существует производная обратной функции в точке у₀ и она равна : f ^-1'(y₀)= .

Теорема 23.

Формула dy = f'(x)dx сохраняется и в том случае, когда х является не независимой переменной, а дифференцируемой функцией x = j(x), t - независимая переменная.

Доказательство. y = f(j(t)) º F(t), dy = F'(t)dt. Воспользуемся формулой дифференцирования сложной функции: F'(t) = f'(j(t))j'(t). dy = f'(j(t))j'(t)dt.

Но, так как x = j(t), то dx = j'(t)dt, dy = f'(x)dx, то есть формула 1 остается в силе и в этом случае. Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала. Отметим, что не меняется только форма (вид) первого дифференциала, а содержание меняется. Именно, если х - независимая переменная, то dx = Dx, если же x = j(t), то dy = j'(t)dt ¹Dx. Из формулы (1) получаем, что f'(x) = , (2) то есть производная функции f(x) равна отношению дифференциалов функции и аргумента также и в том случае, когда аргумент является не независимой переменной, а дифференцируемой функцией какой-то независимой переменной. В качестве следствия из формулы (2) выведем формулу производной функции, заданной параметрически. Пусть x и y заданы как функции независимой переменной t, которую мы назовём параметром. x = j(t), y = y(t) (3) пусть параметр t также изменяется на некотором промежутке и пусть t = j^-1(x). Таким образом, уравнения (3) задают функцию f(x). Такое задание функции называется параметрическим. Выведем формулу f'(x). По формуле (2): f'(x) = , но dy = y'(t)dt, dx = j'(t)dt Þ f'(x) = . f'(x) = .

 

Теорема 24 (Ролля).

Пусть выполнены следующие три условия: f(x) непрерывна на сегменте [a, b], f(x) дифференцируема в интервале (a, b), f’(a) = f’(b). Тогда $ точка c Î (a, b): f’(c) = 0.

Доказательство. В силу второй теоремы Вейерштрасса f(x) имеет на сегменте [a, b] максимальное и минимальное значения. M = f(x), m = f(x). Возможны два случая: M = m => f(x) = M = m = const. " точки c Î [a, b]: f’(c) = 0. M > m. Так как f’(a) = f’(b), то по крайней мере одно из своих значений (M или m) f(x) принимает во внутренней точке c сегмента [a, b] По теореме 7.6 f’(c) = 0. Теорема Ролля доказана.

Физическая интерпретация теоремы Ролля. Пусть x – время, y = f(x) – координата точки, движущейся по оси y, в момент времени x. В моменты времени a и b точка занимает на оси y одно и то же положение: f(a) = f(b), в промежутке от a до b точка как-то движется по оси y. Для того, чтобы вернуться в исходное положение, точка в какой-то момент времени c должна остановиться, то есть в этот момент ее скорость f’(c) = 0. О роли условий 1) – 3) в теореме Ролля. Если f(a) ¹ f(b), то утверждение теоремы Ролля несправедливо.