Здавалка
Главная | Обратная связь

Теорема 45 (о локальной ограниченности непрерывной функции).



Если f(x) непрерывна в точке a, то существует окрестность точки a, в которой f(x) ограничена.

Доказательство. Зададим какое-нибудь e > 0, например, e = 1. По определению непрерывности, $ d > 0: ½f(x) - f(a)½< e при ½x - a½< d, или < f(x) < в d-окрестности точки a. Это и означает, что f(x) ограничена в d-окрестности точки a. Теорема доказана.

Теорема 46 (об устойчивости знака непрерывной функции)

Если f(x) положительна и непрерывна в точке а, то она остается положительной в некоторой окрестности точки а.

Доказательство.Определение 1:Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки а. f(x) называется непрерывной в точке а если f(x) = f(а)

Замечание: Так как х = а, то условие непрерывности функции можно записать в виде f(x) = f( x). Таким образом, непрерывность f(x) в точке а означает, что символы и f можно менять местами. Определение 2. f(x) называется непрерывной в точке а, если " e > 0 $ d > 0: | f(x) - f(а) | < e при | х - а | < d. Пусть f(x) непрерывна в точке а и f(а) > 0. Возьмём e = f(a). По определению 2 $ d > 0: | f(x) - f(a) | < f(а) при | х - а | < d, то есть -f(a) < f(x) - f(a) < f(a) в d- окрестности точки а. Из последнего неравенства следует, что f(x) > 0 в d- окрестности точки а. Итак, если f(x) положительна и непрерывна в точке а, то она остается положительной в некоторой окрестности точки а, что и требовалось доказать.Пусть f(x) определена на [a, a + d). Функция f(x) называется непрерывной в точке а справа, если f(x) = f(а). (то есть f(а + 0) = f(а)). Аналогично определяется непрерывность в точке а слева.

Теорема 47 (о прохождении непрерывной на сегменте функции через любое промежуточное значение).

Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b], f(а) = A, f(b) = B. Тогда " С Î[A, B] $ c Î [a, b]: f(c) = C.

Доказательство. Рассмотрим функцию g(x) = f(x) - C. Пусть , для определённости, A < C < B. Тогда

g(a) = f(a) - С = A - C < 0, g(b) = f(b) - C = B - C > 0. Кроме того, g(x) непрерывна на сегменте

[a, b]. Следовательно, по теореме 48 $ c Î [a, b]: g(c) = 0, то есть f(c) - C = 0 Þ f(c) = C, что и требовалось доказать







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.