Главная | Обратная связь

Теорема 61 (необходимое условие точки перегиба).

Если в точке M(a, f(a)) график функции имеет перегиб и в точке a f(x) имеет непрерывную f ''(x), то f ''(a) = 0.

Доказательство. Допустим, что f ''(a) ¹ 0. Пусть, например, f ''(a) > 0. Тогда, в силу устойчивости знака непрерывной функции, найдется окрестность точки a, в которой справа и слева от точки a f ''(x) > 0, поэтому, в этой окрестности справа и слева от точки a график направлен выпуклостью вниз, но это противоречит тому, что в точке M(a, f(a)) график функции имеет перегиб. Таким же образом можно показать, что неравенство f ''(a) < 0 также не выполнено. Остается принять, что f ''(a) ¹ 0. Теорема доказана.

Теорема 62(первое достаточное условие перегиба).

Пусть точка M(a, f(a)) - точка возможного перегиба графика функции y = f(x), и пусть функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки a, причем f ''(x) имеет разные знаки справа и слева от точки a. Тогда в точке M(a, f(a)) график функции имеет перегиб.

Доказательство .Так как f ''(x) имеет разные знаки справа и слева от точки a в указанной окрестности этой точки, то в этой окрестности справа и слева от точки a график имеет разные направления выпуклости, а это и означает по определению, что в точки M график имеет перегиб. Теорема доказана.

Теорема 63 (второе достаточное условие перегиба ).

Пусть функция y = f(x) трижды дифференцируема в точке a, и пусть f ''(a) = 0, f '''(a) ¹ 0.

Тогда в точке M(a, f(a)) график функции имеет перегиб.

Доказательство. Так как f '''(a) ¹ 0, то f ''(x) возрастает в точке a, если f '''(a) > 0, либо f ''(x) убывает в точке a, если f '''(a) < 0. В любом случае, найдется окрестность точки a, в которой справа и слева от точки a f ''(x) имеет разные знаки. Тем самым, выполнены условия теоремы 8.5 и, следовательно, в точке M(a, f(a)) график функции имеет перегиб. Теорема доказана

Теорема 64, 65.

Пусть функция y = f(x) дважды дифференцируема на интервале [a, b]. Тогда, если " x Î (a, b):

f ''(x) ³ 0 (£ 0), то на этом интервале график направлен выпуклостью вниз (вверх).

Доказательство .Пусть f ''(x) ³ 0. Уравнение касательной имеет вид: Y - f(c) = f '(c)(x - c), или Y(x) = f(c) + f '(c)(x - c) (1) Требуется доказать, что график функции y = f(x) в пределах интервала (a, b) лежит не ниже данной касательной, то есть " x Î (a, b): y = f(x) ³ Y(x). Возьмем любое x Î (a, b) и воспользуемся формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

y = f(x) = f(c) + f '(c)(x - c) + , (2)

где x Î (c, x). Вычитая (1) из (2), получим:y - Y = ³ 0, то есть " x Î (a, b): y ³ Y, что и требовалось доказать. Теорема доказана.