Векторы и линейные операции над векторами. Разложение векторовСтр 1 из 2Следующая ⇒
Векторная алгебра Определение 1. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий определенную длину и направление. Векторы рассматриваются на плоскости (двумерные) и в пространстве (трехмерные). И в том, и в другом случае вектор определяется упорядоченной парой точек, первая из которых – начало вектора, другая – конец вектора. Для обозначения векторов используются символы , , , . Если и соответственно точки начала и конца вектора, то этот вектор обозначается (Рис. 1). Вектор с началом в точке и концом в точке называет противоположным вектору . Длиной или модулем вектора называется число, равное длине отрезка , изображающего вектор. Векторы и имеют один и тот же модуль. Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Нуль-вектор обозначается символом . Модуль нулевого вектора равен нулю. Единичным вектором называет вектор, длина которого равна единице. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается . Два ненулевых вектора называются равными, если один из них путем параллельного переноса можно совместить с другим так, что совпадут их начала и концы (рис 2). Обозначают . С точки зрения векторной алгебры вектор не меняется при его параллельном переносе с сохранением его длины и его направления, то есть точку приложения вектора можно помещать в любую точку пространства. Такие векторы называются свободными. Линейными операциями над векторами называются операции сложения, вычитания и умножения вектора на число. Сложение двух векторов и можно выполнить с помощью правила параллелограмма. Если отложить векторы и от общей точки и построить на них как на сторонах параллелограмм, то вектор , идущий из общего начала в противоположную вершину параллелограмма, будет их суммой (рис. 3). Для построения суммарного вектора не обязательно строить весь параллелограмм , достаточно построить треугольник . Сформулированное правило определения суммы можно заменить более удобным. Суммой двух векторов и называется вектор, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго при условии, что начало второго слагаемого совмещено с концом первого (рис. 4). При этом ясно, что результат сложения не зависит от того, в какой точке пространства начало первого слагаемого: при её изменении весь треугольник параллельно переносится. Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Сложение многих векторов , , , , совершается последовательно: сначала складывается первый вектор со вторым , затем к их сумме прибавляется третий вектор , затем к полученной сумме прибавляется вектор и т.д. (рис. 5). Непосредственно видно, что получается следующее правило для сложения векторов. Правило многоугольника. Суммой нескольких векторов является вектор, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом последнего при условии, что начало каждого последующего вектора совмещено с концом предыдущего (рис. 6).
Законы сложения векторов: 1. , 2. , 3. . Разностью двух векторов и называется вектор , который при сложении с вектором даёт вектор (рис. 7). Заметим, что если на векторах и , отложенных от общего начала, можно построить параллелограмм, то одна направленная диагональ является суммой векторов, а другая разностью. Произведением ненулевого вектора на число называется вектор (или ), длина которого равна , а направление совпадает с направлением вектора , при и противоположно ему при . Например, если дан вектор , то векторы и имеют вид и . Законы умножения вектора на число: 1. , 2. , 3. , 4. . Из определения произведения вектора на число следует, что всякий вектор может быть представлен в виде произведения модуля вектора на орт этого вектора. (1) Если над векторами , , , выполнять действия сложения, вычитания и умножения на число, то в результате любого числа таких действий получится вектор вида , представляющий собой линейную комбинацию исходных векторов. Векторы , , , называются линейно зависимыми (связанными линейной зависимостью), если между ними выполняется соотношение следующего вида: , (2) где скалярные коэффициенты не все равны нулю. Если все коэффициенты равны нулю, то соотношение (2) будет выполняться, но оно не будет устанавливать зависимости между векторами. Про векторы , , , говорят, что они линейно независимые. Понятие линейной независимости между векторами используется для алгебраической характеристики взаимного расположения векторов в пространстве. Определение 2 Два ненулевых вектора и называются коллинеарными (обозначают ), если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направленными (как векторы и ) или противоположно направленными (векторы и (рис 8)). Теорема 1Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Следствие. Если между двумя неколлинеарными векторами выполняется равенство , то оба коэффициента должны равняться нулю . Определение 3 Ненулевые векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Любые два вектора всегда компланарны, а три вектора могут и не быть компланарными. Теорема 2 Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны. - компланарны (3) Представление вектора в виде линейной комбинации векторов и по (3) называется разложением на плоскости по двум неколлинеарным векторам. Рассмотрим произвольный вектор и тройку некомпланарных векторов . Теорема 3Каждый вектор единственным образом разлагается по трем некомпланарным векторам , т.е. представляется в виде (4) Из (4) следует, что любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы. Упорядоченная тройка некомпланарных (линейно независимых) векторов называется базисом во множестве геометрических векторов пространства. Скалярные коэффициенты однозначно определяются и называются координатами вектора относительно базиса . Аналогично: упорядоченная пара неколлинеарных (линейно независимых) векторов образует базис геометрических векторов на плоскости. Коэффициенты в разложении (4) есть координаты вектора относительно базиса .
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|