 |
|
ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧИ 1
1. Компоненты тензора напряжений (1.1), выбранные в соответствии с номером варианта из табл. 1, имеют следующие числовые значения:
Изображение напряжений с учетом их фактических направлений показано на рис. 1.1.
Рис. 1.1. Напряженное состояние в точке тела
2. Главные напряжения определяются по формулам (1.2):
.
Главные напряжения перенумеровываются в соответствии с условием (1.4)
Угол наклона главных осей (главные направления – направления главных напряжений) определяется по формуле (1.3):
3. Напряжения в системе осей, повернутых на угол 
относительно исходных осей, вычисляются по формулам (1.5):
,
,
Полученные величины являются напряжениями на главных площадках. Главные площадки и главные напряжения показаны на рис. 1.2.
Рис. 1.2. Главные площадки и главные напряжения
Напряжения на площадках, повернутых на угол 
относительно исходных осей, вычисляются по формулам (1.5):
Инварианты тензора напряжений вычисляются по формулам (1.6):
Инварианты тензора напряжений сохраняются при повороте координатных осей.
4. Эллипсоид напряжений Ламе строится в главных осях (совпадающих по направлению с главными напряжениями). Уравнение эллипсоида имеет вид
где 
– проекции вектора полного напряжения 
на главные оси. Полуоси эллипсоида равны абсолютным величинам главных напряжений
Эллипсоид напряжений, изображенный с помощью сечений плоскостями, перпендикулярными главным осям, показан на рис. 1.3.
Рис. 1.3. Эллипсоид напряжений Ламе
Для построения кругов напряжений Мора необходимо предварительно найти их центры и радиусы. Координаты центров:
первого круга 
второго круга 
третьего круга 
Радиусы кругов равны соответственно главным касательным напряжениям (1.7):
Круги напряжений изображены на рис. 1.4.
Рис. 1.4. Круги напряжений Мора
Инвариантность максимальных касательных напряжений и других величин, указанных на кругах Мора, следует из того, что они выражаются через главные напряжения, являющиеся инвариантами тензора напряжений.
5. Среднее нормальное напряжение определяется по формуле (1.8):
Тензор напряжений раскладывается на шаровой тензор и тензор-девиатор по формуле (1.9):
6. Октаэдрическое нормальное напряжение по (1.10)
октаэдрическое касательное напряжение по (1.11)
интенсивность напряжений из (1.12)
Соотношение 
что соответствует теоретическому условию 
7. Вычисленные по формулам (1.13) пластический модуль 
, пластический коэффициент Пуассона 
, пластический модуль сдвига 
приведены в таблице 1.2.
Напряженное состояние тонкостенной трубки при растяжении показано на рис. 1.5. Согласно этому, главные напряжения в тонкостенной трубке 
интенсивность напряжений (1.12) 
Главные деформации тонкостенной трубки 
интенсивность деформаций
.
Рис. 1.5. Напряженное состояние тонкостенной трубки при растяжении
8. Построенные по данным табл. 1.2 графики приведены на рис. 1.6 – 1.9. По этим графикам можно приближенно определить предел пропорциональности 
Для условия пластичности Сен-Венана
для условия пластичности Мизеса
Следовательно, материал находится в упругопластическом состоянии.
Рис. 1.6. Диаграмма растяжения стали 45
Рис. 1.7. Зависимость пластического модуля от
интенсивности напряжений
Рис. 1.8. Зависимость пластического коэффициента Пуассона от
интенсивности напряжений
Рис. 1.9. Зависимость пластического модуля сдвига от интенсивности
напряжений
9. Для рассматриваемой точки тела 
. По табл. 1.2 и по графикам 
находятся величины 
.
Деформации определяются по формулам (1.16) ТМУПД:
,
10. Главные деформации вычисляются по формуле (1.17):
Главные деформации перенумеровываются согласно условию (1.18):
Главные деформации можно также вычислить по формулам (1.20) через главные напряжения:
,
,
,
или
,
,
.
Результаты вычислений совпали в пределах принятой точности расчетов. Окончательно
11. Октаэдрический сдвиг вычисляется через главные деформации по формуле (1.21):
или через октаэдрическое касательное напряжение по формуле (1.22):
Результаты совпали в пределах принятой точности вычислений.
Главные сдвиги по (1.23):
Соотношение октаэдрического сдвига и максимального сдвига
результат совпадает с отношением
ЗАДАЧА 2. Пространственное напряженное состояние в точке тела
Условие.В некоторой частице тела (массива, сооружения, грунтового основания, в зоне контактных местных напряжений и т.д.) определены компоненты напряженного состояния, характеризуемые тензором напряжений
. (2.1)
Значения напряжений даны в таблице 1.1 в соответствии с номером варианта.
Требуется:
1. Графически изобразить компоненты тензора на гранях малого элемента тела с учетом их фактических направлений.
2. Определить среднее напряжение по формуле (1.8) и разложить тензор напряжений на шаровой тензор и девиатор напряжений по (1.9).
3. Определить октаэдрическое касательное напряжение
, (2.1)
модуль тензора-девиатора напряжений
(2.2)
интенсивность напряжений
(2.3)
4. Найти главные значения тензора-девиатора напряжений и главные напряжения
(2.4)
Угол φ определяется из формулы
(2.5)
где
(2.6)
- определитель матрицы тензора-девиатора напряжений.
5. Пользуясь экспериментальными данными табл. 1.2 установить, в каком состоянии (упругом, упругопластическом) находится частица тела согласно условиям пластичности Сен-Венана и Мизеса.