Главная | Обратная связь

Робота пружних сил. Потенційна енергія деформацій

Виділимо з тіла нескінченно малий паралелепіпед (рис.1.1) і визначимо роботу, що виконується прикладеними до нього пружними силами на можливих переміщеннях.

Розглянемо роботу, що виконують нормальні сили, що діють на гранях паралелепіпеда, перпендикулярних осі й відповідних нормальним напругам і Якщо точкам тіла надати які-небудь можливі переміщення, то відстань між розглянутими гранями зміниться на величину Відкидаючи у виразі для напруги на правій грані величину як нескінченно малу в порівнянні зі знаходимо, що дві протилежні рівні сили виконують роботу

Аналогічно визначається робота нормальних сил в напрямках осей і на відповідних їм можливих переміщеннях:

Дотичні сили, паралельні осі на вертикальних гранях (при відкиданні нескінченно малих величин вищого порядку малості) утворять пари сил з моментом Для обчислення роботи, що виконує ця пара на можливих переміщеннях, її момент потрібно помножити на збільшення відповідного кута зсуву

У такий же спосіб визначається робота двох інших дотичних складових на відповідних їм можливих переміщеннях:

На підставі принципу незалежності дії сил можливу роботу всіх сил, прикладених до розглянутого елемента, одержимо як суму можливих робіт, виконуваних кожною силою окремо:

Розділивши цей вираз на об’єм розглянутого паралелепіпеда dxdydz, одержимо збільшення роботи, віднесеної до одиниці об'єму тіла в тій точці, де виділений паралелепіпед:

(1.76)

На підставі закону збереження енергії будемо вважати, що робота пружних сил повністю переходить у потенційну енергію, що накопичується тілом при одержанні пружних деформацій і повертаєму їм назад у вигляді роботи сил при зникненні деформації.

Якщо позначити через W питому потенційну енергію, тобто енергію, що накопичується в одиниці об'єму деформуємого тіла, то на підставі прийнятого вище допущення збільшення роботи внутрішніх сил на можливих переміщеннях повністю перейде в потенційну енергію й остання одержить збільшення

Порівнюючи це співвідношення з формулою (1.76), одержуємо збільшення питомої потенційної енергії в такому вигляді:

(1.77)

Збільшення з точністю до величин другого порядку малості можна замінити повним диференціалом:

Підставляючи сюди значення напруг (1.73), одержуємо

Інтегруючи, знайдемо вираз потенційної енергії через деформації:

(1.78)

Виконуючи зворотну операцію з формулами (1.73), одержимо

(1.79)

Отже, питома потенційна енергія, що накопичується в пружному тілі, дорівнює напівсумі добутків складових напруг на відповідні їм складові деформації. Це співвідношення називають формулою Клапейрона.

Питому потенційну енергію можна також виразити тільки через складові напруг. Підставляючи у формулу (1.79) значення деформацій (1.63), знайдемо

(1.80)

Відповідно до співвідношень (1.71), пружні постійні й , що входять у формулу (1.78), позитивні, отже, потенційна енергія також завжди є величиною позитивною.

Потенційну енергію, що накопичується у всьому тілі, підраховують підсумовуванням питомої потенційної енергії по всьому об’ємі тіла V:

(1.81)

Підставляючи сюди вираз питомої потенційної енергії по формулі Клапейрона (1.79), остаточно одержуємо

(1.82)