 |
|
Теорема одиничності. Методи рішення задачі теорії пружності
При рішенні задач теорії пружності може виникнути питання про те, чи є отримане рішення однозначним, тобто чи відповідає заданим об'ємним і поверхневим силам одна система напружень або їх декілька.
Доведемо наступну теорему. Для тіла, що перебуває в природному стані, рішення задачі теорії пружності єдино, якщо справедливий принцип незалежності дії сил.
Припустимо зворотнє: під дією заданих поверхневих 
і об'ємних X, Y, Z сил можливе виникнення двох різних сукупностей напружень:
і
Обидві сукупності повинні задовольняти рівнянням рівноваги
і умовам на поверхні
.
Віднявши почленно відповідні рівняння цих систем, одержимо нову систему рівнянь рівноваги
| (2.19) |
і умов на поверхні
| (2.20) |
На підставі принципу незалежності дії, сил різниці напружень, що входять у ці системи рівнянь, можна прийняти за нову сукупність напружень, що відповідно до рівнянь (2.19) і (2.20) виникає при відсутності об'ємних і поверхневих сил. Але для тіла, що перебуває в природному стані, ці напруження повинні дорівнювати нулю, тобто
або
Отже, обидві сукупності напружень збігаються і рішення задачі теорії пружності, коли задані об'ємні і поверхневі сили, єдино. Точно так само можна довести одиничність рішення задачі теорії пружності і у випадку, коли на поверхні пружного тіла задані переміщення.
З доведеної теореми виходить: так як рішення задач теорії пружності єдино, то байдуже, яким математичним методом вона вирішена. Можна вказати три основних методи математичного рішення задачі теорії пружності:
1. Прямий метод. Він полягає в безпосередньому інтегруванні рівнянь теорії пружності разом із заданими умовами на поверхні.
2. Зворотний метод. У цьому випадку задаються функція переміщень або напружень, що задовольняють диференціальним рівнянням, і визначається, яким зовнішнім навантаженням відповідає розглянута система переміщень або напружень.
3. Напівзворотній метод Сен-Венана. Він складається в задаванні частини функцій напружень або переміщень. Потім за допомогою рівнянь теорії пружності встановлюються залежності, яким повинні задовольняти функції, що залишилися, напружень і переміщень. При цьому диференціальні рівняння настільки спрощуються, що рішення їх не представляє особливих труднощів. Напівзворотний метод є одним з найбільш ефективних методів рішення задач теорії пружності.