 |
|
Плоска деформація і плоский напружений стан
Рішення плоскої задачі є одним з найважливіших питань прикладної теорії пружності. Пояснюється це тим, що дуже багато конструкцій або їх елементів працюють в умовах плоского напруженого стану або плоскої деформації, що й розглядається в плоскої задачі теорії пружності.
Плоский напружений стан виникає в тонкій пластинці, яка по торцевих сторонах навантажена силами, паралельними її основі, і рівномірно розподіленими по товщині (рис.3.1).
Рис.3.1. Пластинка в умовах плоского напруженого стану
У цьому випадку напруги 
на основах пластинки дорівнюють нулю. Так як пластинка тонка, то ці напруження дорівнюють нулю і по всьому обсягу пластинки, а інші компоненти тензора напружень ( 
) не залежать від z і є функціями тільки двох змінних — х и у.
Плоска деформація має місце, якщо переміщення відбуваються тільки паралельно площини ХОУ:
| (3.1) |
Такі переміщення відбуваються в довгому циліндричному або призматичному тілі при дії навантаження, яке перпендикулярно поздовжньої осі і постійної уздовж її. Цій розрахунковій схемі відповідають задачі про циліндричні котки, тунелі, підпірні стінки, греблях і т.п. (рис.3.2).
Рис.3.2. Плоска деформація
Якщо поздовжньою віссю є вісь Z, то в перерахованих випадках деформація виникає тільки в площині ХОУ:
| (3.2) |
Незважаючи на відсутність деформації 
, нормальні напруги 
будуть ненульовими, що треба з формули узагальненого закону Гука
| (3.3) |
Плоский напружений стан і плоска деформація описуються практично однаковими рівняннями, відмінність складається тільки в значеннях пружних постійних. Ця обставина дозволяє об'єднати обидві задачі в одну - плоска задача теорії пружності.
Запишемо основні рівняння теорії пружності стосовно до випадку плоскої деформації.
Диференціальні рівняння рівноваги:
| (3.4) |
де X, Y — постійні по довжині об'ємні сили.
Умови на поверхні:
| (3.5) |
де l, m — напрямні косинуси.
Геометричні співвідношення Коші:
| (3.6) |
Рівняння нерозривності деформацій:
| (3.7) |
Формули закону Гука:
| (3.8) |
де
| (3.9) |
Для плоского напруженого стану рівняння (3.4) – (3.7) зберігають той же вид, а в рівняннях (3.8) 
переходять в. 
Таким чином, у плоскої задачі теорії пружності невідомими будуть вісім функцій (напружень 
, деформації 
, переміщення U, V), що відповідає числу рівнянь (два рівняння рівноваги, три геометричних співвідношення Коші й три формули закону Гука).
Залежно від того, які величини відомі, а які підлягають визначенню, розрізняють пряму задачу, зворотну і змішану. Основне значення для розрахунку конструкцій має пряме задачі; вона ж є й найбільш складною. Зворотне завдання вирішується значно простіше й має допоміжне значення.
Розрізняють наступні методи рішення прямої задачі: рішення в напруженнях, рішення в переміщеннях, змішаний метод.
Найбільше часто в практичних розрахунках необхідно визначати напруження . У цих випадках виконується рішення плоскої задачі в напруженнях.
Для реалізації такого підходу вводиться так звана функція напружень Эрі — 
, що пов'язана з напруженнями співвідношеннями
| (3.10) |
У результаті виходить рівняння
| (3.11) |
Яке називається бігармонічним рівнянням плоскої задачі теорії пружності.
Приєднання до нього умов на контурі, також виражених через функцію напруг Эрі,
| (3.12) |
дозволяє визначити функцію напружень 
, а потім по формулах (3.10) — напруження.