Главная | Обратная связь

Балка на двох опорах під дією рівномірно розподіленого навантаження

Схема балки показана на рис. 3.6. Рішення задачі можна одержати, якщо функцію напружень прийняти у вигляді суми поліномів п'ятого, третього й другого ступенів. При цьому варто врахувати, що вісь є віссю симетрії, і тому члени, що містять у непарному ступені, варто відкинути.

Рис. 3.6. Балка на двох опорах

Таким чином, складаючи поліноми (3.16) (3.13) і (3.12), з урахуванням симетрії одержуємо наступну функцію напружень:

Підставляючи її у формули (3.10) і зневажаючи об'ємними силами, одержуємо систему напруг

(а)

Для визначення постійних маємо наступні граничні умови:

на верхній грані при

на нижній грані при

Підставляючи в ці умови напруги (а), одержуємо чотири рівняння:

Вони розпадаються на незалежні рівняння

Вирішуючи цю систему, знаходимо:

Переходимо до умов на торцях: при

(б)

Так як закон розподілу реакції по торцю не заданий, то після неї умова вимагає; щоб дотичні напруження на торці приводилися до опорної реакції. Після підстановки в цю умову дотичних напружень із формул (а) одержуємо тотожність. Нормальні напруження при становлять

(в)

і, отже, у нуль не обертаються, тобто точно задовольнити граничну умову для нормальних напружень не вдається.

Розглянемо наближені граничні умови. Зажадаємо, щоб на торцях зверталися в нуль рівнодіюча поздовжніх зусиль і їх момент:

(г)

Підставляючи в ці умови вираз нормальної напруги (в), одержуємо

звідки після інтегрування

Таким чином, наближені граничні умови на торцях (г) виконані. Подібна заміна точної граничної умови наближеною називається зм'якшенням граничних умов. Умови (г) показують, що діючі на торцях нормальні напруження зводяться до взаємно врівноваженої системи сил, що на підставі принципу Сен-Венана впливає на розподіл напружень лише поблизу торців балки.

Підставляючи знайдені постійні у формули (а), одержуємо остаточні значення напружень:

(3.25)

Епюри цих напружень у перерізах балки довжиною , де вони досягають найбільших абсолютних значень, показані на рис. 3.7.

Рис. 3.7. Епюри максимальних напружень

Для порівняння визначимо напруження по формулах опору матеріалів:

(3.26)

Порівняємо максимальні значення нормальних напружень , отримані по формулах (3.25) і (3.26). У першому випадку при й

у другому

Різниця між ними залежить від відношення висоти балки до її довжини. Для балки довжиною ця різниця становить усього . Зі збільшенням довжини балки ця різниця зменшується. Таким чином, гіпотеза плоских перерізів, на основі якої отримана формула опору матеріалів для напружень , у розглянутої задачі цілком виправдується. Епюра цих напружень показана на рис. 3.7 штриховою лінією.

При рішенні задачі в опорі матеріалів нормальними напруженнями зневажають. У рішенні (3.25), отриманому методом теорії пружності, при маємо

Порівнюючи це значення із для балки довжиною , одержуємо

Отже, прийнята в опорі матеріалів гіпотеза про те, що поздовжні волокна балки один на одного не давлять, для балок довжиною є цілком прийнятною.

Дотичні напруження , одержувані в опорі матеріалів, повністю збігаються з напругами обумовленими методами теорії пружності.