Здавалка
Главная | Обратная связь

Клин, навантажений у вершині зосередженою силою



Рішення (4.7) можна застосувати до задачі про клин, у вершині якого прикладена сила довільного напрямку (рис. 4.3). Кут розтвору клина дорівнює . Початковий радіус-вектор збігається з бісектрисою кута. Лінія дії сили становить із початковим радіус-вектором кут .

Рис. 4.3. До задачі про клин

Покажемо, що в цьому випадку клин перебуває в простому радіальному напруженому стані. Для цього скористаємося виразом напруження у формі (4.6):

(4.8)

і визначимо постійні й , при яких задовольняються граничні умови поставленої задачі.

Виключимо з розгляду закріплення нижньої крайки клина, що впливає на розподіл напружень тільки поблизу від місця закріплення.

На бічних поверхнях клина, тобто при , . З формул (4.8) виходить, що ця умова тотожно виконується у всіх точках бічної поверхні, крім полюса . У полюсі при зазначені формули неприйнятні. Для включення в граничні умови сили замінимо її на підставі принципу Сен-Венана еквівалентним навантаженням, розподіленим по дузі малого радіуса (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Заміна зосередженої сили еквівалентним навантаженням

Розглянемо рівновагу елемента клина, що відсікається дугою довільного радіуса . Спроектуємо всі сили, прикладені до цього елемента, на вертикальну і горизонтальну осі. Приймаючи товщину клина в напрямку, перпендикулярному площині малюнка, рівній одиниці, одержимо:

Після підстановки напруження з формул (4.8) при ці умови рівноваги перетворяться в наступні:

(а)

Інтегруючи, одержуємо систему двох рівнянь для визначення постійних і :

звідки

(б)

Розділивши почленно друге рівняння (б) на перше, одержуємо умову для визначення постійної :

(4.9)

Зведемо обидва рівняння (б) у квадрат і складемо:

Добуваючи корінь, знаходимо

(4.10)

Таким чином, вдалося задовольнити граничним умовам і, отже, розглянутий клин перебуває в простому радіальному напруженому стані. При цьому постійні й визначаються формулами (4.9) і (4.10).

Стискання клина

Задача про стискання клина зосередженою силою, прикладеної до вершини (рис. 4.5), можна розглядати як окремий випадок задачі, розібраної в 4.3, коли .

Рис. 4.5. Стискання клина зосередженою силою

При цьому постійні й відповідно до формул (4.9) і (4.10) приймають наступні значення:

(4.11)

Вносячи ці значення у формули (4.8), одержуємо такі складові напружень:

(4.12)

Епюра радіальних напружень у перерезі показана на тому ж малюнку.

Для дослідження напруженого стану в стиснутому клині зручно перейти до його поперечних і поздовжніх перерезів. Якщо вісь сполучити з віссю симетрії клина, а вісь направити вправо, то в поперечному перерізі будуть діяти складові напружень і , а в поздовжньому — і .

Зв'язок між складовими напружень у декартовій і полярній системах координат для плоскої задачі одержимо з відповідних формул, змінюючи в них позначення напрямків:

(а)

У цих формулах напрямні косинуси й визначають положення осі по відношенню відповідно до осей і :

(б)

а напрямні косинуси й - положення осі :

(в)

Після підстановки напрямних косинусів (б) і (в) у формули (а) одержуємо

(4.13)

Користуючись значеннями напружень (4.13), знаходимо

(г)

Перейдемо в правій частині отриманих рівностей від полярних координат до декартових, зв'язок між якими виражається в такий спосіб:

(4.14)

Підставляючи ці співвідношення у формули (г), одержуємо

(4.15)

Досліджуємо виведені формули на прикладі клина з кутом рад. У перерезі , що перебуває на відстані від вершини,

(д)

Епюри цих напружень зображені на рис. 4.5.

Для порівняння приведемо рішення з позицій опору матеріалів, де приймають, що при стисканні нормальні напруження в поперечному перерізі розподілені рівномірно, а напруження й відсутні:

Зіставляючи ці напруження з напруженнями (д), містимо, що нормальне напруження , одержувана методами опору матеріалів, відрізняється від максимального нормального напруження , одержуваного методами теорії пружності, на 17%. У випадку, коли кут рад, ця різниця досягає 36%. Звідси видно, що методика опору матеріалів непридатна для розрахунку стиснутих стержнів змінного перерізу з більшим кутом розтвору .

Згинання клина

Задача про згинання клина силою, прикладеною до його вершини (рис. 4.6), можна також розглядати як окремий випадок задачі, розібраної в 4.3, при .

Рис. 4.6. Вигин клина

Дотримуючись тої ж послідовності, що й у попередньому параграфі, знаходимо значення постійних:

,

і складових напружень:

(4.16)

Епюра радіальних напружень у перерезі показана на зазначеному рисунку.

Переходячи за допомогою формул (4.14) і (4.15) до декартової системи координат, знаходимо

(4.17)

Досліджуємо розподіл напружень у клині з кутом рад. У цьому випадку в поперечному перерізі, що відстоїть від вершини на відстані , виникнуть наступні напруження:

Їх епюри також показані на рис. 4.6.

Для порівняння приведемо рішення, одержуване методами опору матеріалів:

(4.18)

Епюри цих напружень при тім же значенні кута представлені на рис. 4.7.

Рис. 4.7. Епюри, отримані методами опору матеріалів

Порівнюючи відповідні епюри на рис. 4.6 і 4.7, зауважуємо, що вони значно відрізняються друг від друга. Епюра нормальних напружень , побудована по формулах (4.17), криволінійна, а епюра напружень , побудована по формулах (4.18), прямолінійна, причому максимальні значення напружень відрізняються на 17%. Зі збільшенням кута ця різниця зростає.

Епюри дотичних напружень і взагалі не мають нічого загального. Нормальні напруження по всьому перерізу дорівнюють нулю, а максимальне значення нормального напруження для досліджуваного кута становить близько 22% від максимального значення нормального напруження .

Зі зменшенням кута розбіжність між рішеннями теорії пружності й опори матеріалів також зменшується. Отже, методика опору матеріалів придатна лише для малих кутів.

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.