 |
|
Поняття про розрахунок циліндричних котків
Розрахунок циліндричних котків являє собою задачу про стискання тіл, що стикаються по поверхні кінцевих розмірів. Така задача ставиться до розряду контактних. Вона зустрічається при розрахунку опорних частин мостів, естакад, шлюзових воріт, при вивченні місцевих напружень у колесах рухомого составу, у головках залізничних рейок.
Розглянемо два паралельних циліндри, які касаються по твірній і стискаємих рівномірно розподіленими по довжині силами, рівнодіючі яких спрямовані по осі 
(рис. 4.14).
Рис. 4.14. Дотичні циліндри
Внаслідок деформування під дією цих сил торкання циліндрів відбудеться по деякій поверхні у вигляді вузької смуги, називаною поверхнею тиску. Її ширина завжди мала в порівнянні з розмірами циліндрів, тому розглянуту задачу можна вирішувати як плоску задачу теорії пружності.
Виріжемо в одного із циліндрів диск товщиною, рівній одиниці. Якщо взяти до уваги дійсну геометричну форму дотичних тіл, то визначення напружень і деформації в області контакту виявиться неможливим. Тому через малість ширини поверхні контакту в порівнянні з діаметрами циліндрів дотичні тіла заміняють двома пружними напівплощинами. Сили ж тиску, що виникають на поверхні контакту, уважають прикладеними до кожної напівплощини.
Всі труднощі подальшого рішення полягають у визначенні закону розподілу тиску по лінії контакту. Німецький учений Г. Герц в 1883 р. показав, що цей розподіл уздовж осі 
можна прийняти за законом напівеліпса. Згідно рис. 4.15,
де 
— максимальна ордината на епюрі тиску посередині смуги тиску; 
— половина ширини смуги тиску.
Рис. 4.15. Розподіл тиску по лінії контакту
Визначимо нормальне напруження 
в довільній точці 
осі . Напруження, створювана елементарною силою 
, відповідно до першої формули (4.21), становить
,
а напруження від тиску по всій площі контакту
.
Підставимо в ці вирази інтенсивність тиску 
з формули (а) і виконаємо інтегрування:
.
Якщо циліндри стискуються силою 
, що доводиться на одиницю довжини твірної, то
.
Підставляючи сюди з формули (а) і виконуючи інтегрування, знаходимо
.
Тоді вираз напруження в точках на осі приймає вид
| (4.43) |
При 
це напруження досягає максимального абсолютного значення 
.
Для визначення ширини смуги контакту необхідно розглянути деформації в області контакту. Приводимо результати рішення для випадку, коли матеріал обох циліндрів однаковий і коефіцієнт Пуассона 
;
,
де 
й 
— радіуси дотичних циліндрів; 
— модуль пружності матеріалу циліндрів.
Матеріал дотичних тіл у центрі площі контакту перебуває в умовах об'ємного напруженого стану і тому може безпечно працювати при больших стискаючих напруженнях. Так, наприклад, сталь залізничної рейки витримує тиск порядку 3500-4000 МПа. При цьому на поверхні контакту розрахункові напруження близькі до границі текучості, а усередині дотичних тіл навіть перевищують його.