 |
|
Поняття про дію зосередженої сили на пружний півпростір
Пружним півпростором називається частина простору, обмежена площиною. Задача про дію сили 
, прикладеної по нормалі до цієї площини (рис. 4.16), ставиться до просторової задачі теорії пружності і є більш складною, чим задача про дію сили на границі напівплощини (див. 4.6). Її рішення зручно будувати в циліндричній системі координат.
Рис. 4.16. Дія сили на пружний півпростір
У цій системі будь-яка точка простору визначається трьома координатами 
, 
, 
. Задача є осесимметричною, тому всі перерізи, паралельні площини 
, перебувають в однакових умовах і всі функції не залежать від полярного кута .
Рішення розглянутої задачі належить Ж. Буссінеску. Інтегрування системи диференціальних рівнянь рівноваги й рівнянь нерозривності деформацій Бельтрамі - Мітчелла в циліндричній системі координат дає наступний результат:
| (а) |
де як і раніше 
— коефіцієнт Пуассона, a 
.
Напружений стан, описуваний формулами (а), зображене на рис. 4.17. З формул треба, що на будь-якій прямій 
напруження обернено пропорційні квадрату відстані від початку координат 
.
Рис. 4.17. Рішення Ж. Буссінеска
Рішення, як і в плоскої задачі, має особливість на початку координат, тому для включення в нього сили зроблена її заміна статично еквівалентним навантаженням, що розподілене по сфері малого радіуса 
, обкресленої з початку координат. На підставі принципу Сен-Венана така заміна позначиться на розподілі напружень тільки поблизу початку координат.
На горизонтальній площадці в довільній точці 
(рис. 4.18) відношення напружень
і, отже, напрямок повного напруження на цій площадці проходить через початок координат . Величина цього напруження
.
Рис. 4.18. Напруження на горизонтальній площадці
Якщо накреслити сферу діаметром 
, що проходить через точку і касається границі площини на початку координат (рис. 4.18), то
і повне напруження
.
Таким чином, у всіх точках розглянутої сфери повне напруження на горизонтальних площадках постійне.
Для визначення переміщень у півпросторі необхідно напруження (а) підставити у формули закону Гука, виражені в циліндричній системі координат, і знайти деформації. Потім треба проінтегрувати геометричні співвідношення Коші в циліндричній системі координат, у результаті чого одержимо наступні складові переміщень:
| (б) |
де 
— радіальна складова переміщення; 
— окружна, а 
— переміщення уздовж осі .
З формул (б) треба, що на будь-якій прямій переміщення обернено пропорційні відстані від початку координат і при 
прагнуть до нуля.
Найбільший інтерес представляють вертикальні переміщення точок на граничній площині (при 
)
.
Ця формула справедлива у всіх точках, за винятком малої області в початку координат.
Рішення, отримане для зосередженої сили, можна поширити на навантаження, розподілене по деякій площі граничної площини.