Напруження в пластинці
Для обчислення нормальних напружень і скористаємося двома першими формулами закону Гука (2.5) і на підставі третьої гіпотези відкинемо напруження . Тоді одержимо:
звідси з урахуванням залежностей (5.5) знаходимо
Четверта формула закону Гука після підстановки кутової деформації з формул (5.5) приймає такий вид:
Дотичні напруження у двох інших площинах, відповідно до рівностей (5.1), звертаються в нуль:
Однак такий результат отриманий тільки внаслідок прийнятих раніше гіпотез. У дійсності ці дотичні напруження не дорівнюють нулю, оскільки це суперечить умовам рівноваги. Дійсно, розглянемо диференціальні рівняння рівноваги (2.1). Зневажаючи об'ємними силами, з першого рівняння знаходимо . Підставимо сюди напруження з формул (а) і (б):
Після спрощення одержуємо
або
Інтегруючи по , знаходимо
Для визначення довільної функції маємо наступні граничні умови: на верхній і нижній поверхнях пластинки немає дотичних навантажень, тобто при . Підставляючи ці умови у формулу (в), одержуємо
звідки шукана функція . Якщо ввести її у формулу (в), одержуємо
Вирішуючи таким же шляхом друге рівняння рівноваги (2.1), знаходимо
Отже, відповідно до формул (а), (б), (г) і (д), у перерізах пластинки, перпендикулярних її серединнії площини, виникають наступні напруження:
На рис. 5.2 показані епюри цих напружень по товщині пластинки. Рис. 5.2. Епюри напружень по товщині пластинки Напруження й розподіляються за лінійним законом, звертаючись у нуль в точках серединної площини; напруження і розподіляються по параболі, досягаючи в точках серединної площини максимального значення. Так само розподіляються дотичні напруження і при поперечному згинанні балок прямокутного перерізу. У формулах (5.6) всі напруження виражені через одну функцію двох змінних , отже, функція прогинів грає тут такуж роль, що й функція напружень у плоскої задачі.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|