 |
|
Приклад розв’язання задачі методом Бубнова-Гальоркіна
Для ілюстрації методу Бубнова-Гальоркіна розглянемо вигин затисненої по контурі прямокутної пластинки, до якої прикладене рівномірно розподілене навантаження. Напрямок координатних осей показане на рис. 6.3.
Рис. 6.3. Вигин затисненої по контурі пластинки
З характеру закріплення пластинки випливають наступні граничні умови. На гранях пластинки OB і AC при 
й 
| (а) |
На гранях OA і BC при 
й 
| (б) |
Щоб задовольнити цим умовам, наближений вираз функції прогинів можна прийняти у вигляді ряду
| (в) |
де функція
кожного його члена задовольняє всім граничним умовам.
Так, на грані OB
і, отже, 
.
На грані AC
і теж . Точно так само виконуються умови (б) для прогинів на гранях OA і BC.
Для перевірки граничних умов відносно кутів повороту на контурі пластинки обчислюємо похідні від функції прогинів (в) по x і y:
На грані OB
і, отже, похідна 
. Точно так само на грані AC
і похідна . Аналогічно, на гранях OA і BC звертається в нуль похідна 
. Таким чином, функція прогинів (в) задовольняє всім граничним умовам (а) і (б).
Для відшукання невизначених параметрів 
потрібно скласти систему рівнянь Бубнова-Гальоркіна (6.7). У першому наближенні обмежимося одним членом ряду (в):
| (г) |
Тоді функція 
для цього члена ряду буде
| (д) |
Підставляючи співвідношення (г) і (д) у рівняння (6.7), одержуємо
Після перетворення приходимо до суми добутків інтегралів:
Інтегруючи, одержуємо
або після спрощення
Звідси коефіцієнт
Вносячи отримані значення 
у формулу (г), знаходимо функцію прогинів у першому наближенні:
Максимальний прогин виникає в центрі пластинки (при 
, і 
). Для квадратної пластинки при 
й коефіцієнті Пуассона 
одержуємо наступне значення максимального прогину:
Точне значення максимального прогину квадратної пластинки, затисненої по контурі й до якого прикладене рівномірно розподілене навантаження
Таким чином, максимальний прогин, отриманий у першому наближенні, відрізняється від точного значення менш ніж на 1,5%.
При обчисленні згинальних моментів і поперечних сил ряди сходяться значно гірше.