 |
|
Модель сложных ссудных процентов
В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов.
Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:
· проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;
· срок ссуды более года.
Если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличивается на невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму долга:
FV = PV + I = PV + PV * i = PV * (1 + i)
– за один период начисления;
FV = (PV + I) * (1 + i) = PV * (1 + i) * (1 + i) = PV * (1 + i)2
– за два периода начисления;
отсюда, за n периодов начисления формула примет вид:
FV = PV *• (1 + i)n = PV * kн ,
где FV – наращенная сумма долга;
PV – первоначальная сумма долга;
i – ставка процентов в периоде начисления;
n – количество периодов начисления;
kн – коэффициент (множитель) наращения сложных процентов.
Эта формула называется формулой сложных процентов.
Как было выше указано, различие начисления простых и сложных процентов в базе их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т.е. база начисления является постоянной величиной, то сложные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу. Таким образом, простые проценты по своей сути являются абсолютными приростами, а формула простых процентов аналогична формуле определения уровня развития изучаемого явления с постоянными абсолютными приростами. Сложные проценты характеризуют процесс роста первоначальной суммы со стабильными темпами роста, при наращении ее по абсолютной величине с ускорением, следовательно, формулу сложных процентов можно рассматривать как определение уровня на базе стабильных темпов роста.
Согласно общей теории статистики, для получения базисного темпа роста необходимо перемножить цепные темпы роста. Поскольку ставка процента за период является цепным темпом прироста, то цепной темп роста равен:
(1 + i).
Тогда базисный темп роста за весь период, исходя из постоянного темпа прироста, имеет вид:
(1 + i)n .
Базисные темпы роста или коэффициенты (множители) наращения, зависящие от процентной ставки и числа периодов наращения, табулированы.
Экономический смысл множителя наращения состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар и т.п.) через n периодов при заданной процентной ставке i.
Графическая иллюстрация соотношения наращенной суммы по простым и сложным процентам представлена на рисунке 2.
Рис. 2. Наращение по простым и сложным процентам.
|
Как видно из рисунка 2, при краткосрочных ссудах начисление по простым процентам предпочтительнее, чем по сложным процентам; при сроке в один год разница отсутствует, но при среднесрочных и долгосрочных ссудах наращенная сумма, рассчитанная по сложным процентам значительно выше, чем по простым.
При любом i,
если 0 < n < 1, то (1 + ni) > (1 + i)n ;
если n > 1, то (1 + ni) < (1 + i)n ;
если n = 1, то (1 + ni) = (1 + i)n .
Таким образом, для лиц, предоставляющих кредит:
· более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее года (проценты начисляются однократно в конце года);
· более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год;
· обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.
Достаточно часто финансовые контракты заключаются на период, отличающийся от целого числа лет.
В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом лет, начисление процентов возможно с использованием двух методов:
· общий метод заключается в прямом расчете по формуле сложных процентов:
FV = PV * (1 + i)n,
n = a + b,
где n – период сделки;
a – целое число лет;
b – дробная часть года.
· смешанный метод расчета предполагает для целого числа лет периода начисления процентов использовать формулу сложных процентов, а для дробной части года – формулу простых процентов:
FV = PV * (1 + i)a * (1 + bi).
Поскольку b < 1, то (1 + bi) > (1 + i)a, следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.
В финансовой практике часто приходится решать задачи, обратные определению наращенной суммы: по уже известной наращенной сумме (FV) следует определить неизвестную первоначальную сумму долга (PV).
Такие ситуации возникают при разработке условий финансовой сделки, или когда проценты с наращенной суммы удерживаются непосредственно при выдаче ссуды. Процесс начисления и удержания процентов вперед, до наступления срока погашения долга, называют учетом, а сами проценты в виде разности наращенной и первоначальной сумм долга дисконтом (discount):
D = FV - PV
Термин дисконтирование в широком смысле означает определение значения стоимостной величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она составит заданную величину.
|
| Рис. 3. Логика финансовой операции дисконтирования. |
Не редко такой расчет называют приведением стоимостного показателя к заданному моменту времени, а величину PV называют приведенной (современной или текущей) величиной FV. Таким образом, дисконтирование – приведение будущих денег к текущему моменту времени, и при этом не имеет значения, имела ли место в действительности данная финансовая операция или нет, а также независимо от того, можно ли считать дисконтируемую сумму буквально наращенной.
Именно дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчетах фактор времени, поскольку дает сегодняшнюю оценку суммы, которая будет получена в будущем. Привести стоимость денег можно к любому моменту времени, а не обязательно к началу финансовой операции.
Исходя из методики начисления процентов, применяют два вида дисконтирования:
· математическое дисконтирование по процентной ставке;
· банковский учет по учетной ставке.
Различие в ставке процентов и учетной ставке заключается в различии базы для начислений процентов:
· в процентной ставке в качестве базы берется первоначальная сумма долга:
i = (FV - PV) / PV
· в учетной ставке за базу принимается наращенная сумма долга:
d = (FV - PV) / FV
Проценты, начисленные по ставке процентов, называются антисипативными, а по учетной ставке – декурсивными.
Учетная ставка более жестко отражает временной фактор, чем процентная ставка. Если сравнить между собой математическое и банковское дисконтирование в случае, когда процентная и учетная ставка равны по своей величине, то видно, что приведенная величина по процентной ставке больше приведенной величины по учетной ставке.
Математическое дисконтирование – определение первоначальной суммы долга, которая при начислении процентов по заданной величине процентной ставки ( i ) позволит к концу срока получить указанную наращенную сумму:
для простых процентов
PV = FV / (1 + n *• i ) = FV * 1 / (1 + n *• i ) =
= FV * (1 + n * i ) -1 = FV *• kд,
где kд – дисконтный множитель (коэффициент приведения) для простых процентов.
Дисконтный множитель показывает, какую долю составляет первоначальная сумма долга в величине наращенной суммы. Поскольку дисконтный множитель (множитель приведения) зависит от двух аргументов (процентной ставки и срока ссуды), то его значения легко табулируются, что облегчает финансовые расчеты.
Банковский учет – второй вид дисконтирования, при котором исходя из известной суммы в будущем, определяют сумму в данный момент времени, удерживая дисконт.
Операция учета (учет векселей) заключается в том, что банк или другое финансовое учреждение до наступления платежа по векселю покупает его у предъявителя по цене ниже суммы векселя, т.е. приобретает его с дисконтом. Сумма, которую получает векселедержатель при досрочном учете векселя, называется дисконтированной величиной векселя. При этом банк удерживает в свою пользу проценты (дисконт) от суммы векселя за время, оставшееся до срока его погашения. Подобным образом (с дисконтом) государство продает большинство своих ценных бумаг.
Для расчета дисконта используется учетная ставка:
· простая учетная ставка:
D = FV - PV = FV * n * d = FV * t / T * d ,
где n – продолжительность срока в годах от момента учета до даты выплаты известной суммы в будущем.
Отсюда:
PV = FV - FV * n * d = FV * (1 - n * d),
где (1 - n * d) – дисконтный множитель.
Очевидно, что чем выше значение учетной ставки, тем больше дисконт. Дисконтирование по простой учетной ставке чаще всего производится по французской практике начисления процентов, т.е. когда временная база принимается за 360 дней, а число дней в периоде берется точным.
· по сложной учетной ставке:
PV = FV * (1 - d) n
При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, т.к. учетная ставка каждый раз применяется к уменьшаемой на величину дисконта величине.
Объединение платежей можно производить и на основе учетной ставки, например, при консолидировании векселей. В этом случае, сумма консолидированного платежа рассчитывается по следующей формуле:
FVoб = ΣFVj * (1 - d * tj) -1 ,
где tj – интервал времени между сроками векселей.
В том случае, когда учету подлежит долговое обязательство, по которому предусматривается начисление процентов, происходит совмещение начисления процентов по процентной ставке и дисконтирования по учетной ставке:
PV2 = PV1 * (1 + n1 * i ) * (1 - n2 * d ),
где PV1 – первоначальная сумма долга;
PV2 – сумма, получаемая при учете обязательства;
n1 – общий срок платежного обязательства;
n2 – срок от момента учета до погашения.
Темпы инфляции определяются с помощью индекса – относительного показателя, характеризующего среднее изменения уровня цен некоторого фиксированного набора товаров и услуг за данный период времени.
Индекс инфляции показывает во сколько раз выросли цены (Jτ), а уровень инфляции показывает, насколько процентов возросли цены (τ), т.е. по своей сути это соответственно темп роста и темп прироста:
Jτ = 1 + τ
Для оценки уровня инфляции используется система индексов цен.
Индекс потребительских цен (ИПЦ) – это показатель международной статистики, регулярно использующийся практически во всех странах мира (CPI – Consumer Price Index), который характеризует динамику затрат на постоянный набор товаров и услуг за счет ценностного фактора.
Индекс потребительских цен дает достаточно обобщенную характеристику инфляции, так как потребление является завершающим этапом в создании валового продукта, и здесь находят свое отражение все предыдущие стадии производства.
Расчет ИПЦ в России осуществляется за каждый месяц и нарастающим итогом с начала года (к декабрю прошлого года).
Отечественные исследователи часто расценивают уровень инфляции как темп прироста потребительских цен:
τ = ИПЦ - 100 (%)
В зависимости от уровня инфляции в год выделяют:
· нормальную (ползучую) – от 3% до 10%;
· галопирующую – от 10% до 100%;
· гиперинфляцию – свыше 50% в месяц.
Еще одним важным показателем международной статистики, оценивающим инфляцию, является дефлятор валового внутреннего продукта, который характеризует изменение стоимостного объема ВВП за счет его ценностного фактора. Дефлятор ВВП также дает обобщенную характеристику инфляции, поскольку характеризует движение цен на потребительском рынке, а также на рынке инвестиционных товаров и услуг.
Для характеристики инфляции могут применяться и другие показатели: размер эмиссий, сокращение товарных запасов и т.п.
Инфляция противодействует повышению стоимости денег, обесценивая их. Графически это представлено на рис. 4.
|
| Рис. 4. Факторы изменения стоимости денег |
Вследствие начисления процентов происходит увеличение денежных сумм, но их стоимость под влиянием инфляции уменьшается. Поскольку каждая денежная единица обесценивается вследствие инфляции, то в дальнейшем обесцениваются уже обесцененные деньги. Таким образом, формула для исчисления наращенной суммы с учетом влияния инфляции, принимает следующий вид:
FV = PV(1 + i)n / (1 + τ) n
Наращение осуществляется по простым или сложным процентам, но инфляция всегда оценивается по сложному проценту.
Поскольку ставка доходности ( i ) является фактором роста денег, то находится в числителе формулы, а показатель инфляции ( τ ) является фактором их обесценивания, поэтому находится в знаменателе формулы.
Владельцы денег не могут мириться с их обесцениванием в результате инфляции и предпринимают различные попытки компенсации потерь от снижения их покупательной способности.
Наиболее распространенным методом является индексация ставки процентов, по которой производится наращение, поскольку:
· если уровень инфляции равен ставке начисляемых процентов (τ = i), то реального роста денежных сумм не будет, т.к. наращение будет полностью поглощаться инфляцией;
· если уровень инфляции выше уровня процентной ставки (τ > i),то происходит "проедание" капитала, и реальная наращенная сумма будет меньше первоначальной денежной суммы;
· если уровень инфляции ниже процентной ставки (τ < i), то это будет соответствовать росту реальной денежной суммы.
В связи с этим вводится понятие номинальная ставка процента, т.е. ставки с поправкой на инфляцию ( iτ ).
Общая формула для определения простой ставки процентов, компенсирующей ожидаемую инфляцию, имеет следующий вид:
iτ = [(1 + n i) • Jτ - 1] : n
где i – простая ставка процентов, характеризующая требуемую реальную доходность финансовой операции (нетто-ставка);
iτ – процентная ставка с поправкой на инфляцию.
Годовая ставка сложных процентов, обеспечивающая реальную доходность кредитной операции, определяется по формуле
iτ = i + τ + iτ
Для расчета номинальной ставки можно использовать следующую модель:
|
| , |
из которой можно сравнивать уровни процентной ставки и инфляции, проводить анализ эффективности вложений и устанавливать реальный прирост вложенного капитала.
При начислении процентов несколько раз в год
|
Эти модели позволяют производить учет инфляции и корректировку процентных ставок.
На практике довольно часто довольствуются сравнением i и τ путем вычисления реальной ставки, т.е. уменьшенной ставки доходности на уровень инфляции:
i = (i - τ) / (1 + τ)