 |
|
Хорошее согласие только с одним участком
кривой (АК) _ для βкр ≤ β ≤ 1, а в диа-
пазоне 0 ≤ β ≤ βкр расход,
соответствующий βкр , не снижается, а
Остается неизменным (КС), равным mкр,
Т.е. максимальным. Причем, как бы ни
Понижалось давление окружающей среды
Р2, давление на выходе из сопла остается
Постоянным и соответствующим ркр. Для
Того чтобы отыскать максимум
Зависимости (3.4), первую производную от выражения в квадратных скобках
приравняем нулю:
γ β 0
β γ 1 γ
β β β
γ
γ 1
кр
γ
кр
γ
γ 1
кр
γ
кр − = − + =
−
+
⎟⎠
⎞
⎜⎝
− ⎛
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡ +
d
D ,
Откуда
γ
γ 1
кр
γ
кр γ β
β γ 1 γ
2 −
+
⎟⎠
⎞
⎜⎝
− ⎛
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛ = + и γ
γ 1
кр
γ
2 γ
γ
кр γ 1 β β
− −
−
+ = = .
Окончательно имеем: γ 1
γ
кр
кр γ 1
β 2 −
⎟ ⎟ ⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
= = + p
p
. (3.5)
Из формулы (3.5) следует, что отношение критического давления на
Выходе из сопла к давлению на входе является постоянной величиной для
Каждого газа и зависит только от природы газа через показатель адиабаты. В
случае одноатомных газов: γ= 1,67 и βкр = 0,49, для двухатомных: γ = 1,4;
βкр = 0,528 и для трехатомных: γ = 1,3; βкр = 0,546. Поэтому приближенно
можно принять βкр ≈ 0,5.
Скорость газа на выходе из сопла в зависимости от β меняется анало-
гично изменению расхода m. Для значения βкр найдем критическую ско-
рость по уравнению (3.3):
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡ −
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡ −
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
= − − = − − γ
γ 1
1 1
γ
γ 1
кр 1 1 γ 1 1 βкр
1 2γ γ 1
2γ p v p
p
W p v .
С учетом (3.15), имеем:
1 1 1
1 1
γ
γ-1
γ-1
γ
Кр 1 1
γ 1
2γ
γ 1
2γ
γ 1
1 2 γ 1
2γ
γ 1
1 2 γ 1
2γ
P v RT
W p v p v
+
=
+
=
=
+
−
−
=
+
−
−
=
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎡ ⋅
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
(3.6)
Для того чтобы выразить wкр через выходные параметры потока, подста-
Вим в уравнение адиабаты
γ
γ 1
кр
кр
−
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛
= p
p
T
T
значение βкр из формулы (3.5)
и получим γ 1
γ 1
β 2 γ
γ-1
γ-1
γ
γ
γ 1
кр
кр
= + = +
⋅
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎛
=
−
⎟⎠
⎞
⎜⎝
⎛
T
T
, следовательно
γ 1
Кр
T =T + ,
отсюда кр кр кр кр w = γRT = γp v = азв , (3.7)
Где азв – известное из курса общей физики значение местной скорости
Звука в данной среде. Из формулы (3.7) следует, что wкр и азв растут с
Увеличением критических термодинамических параметров и показателя
Адиабаты.
Можно также заключить, что критическими параметрами рабочего
Тела при течении его в канале называются термодинамические пара-
Метры в том сечении его, где скорость потока равна местной скорости
Звука.
Сужение сопла ведет к росту скорости и при f min = f кр скорость
Достигнет своего предельного значения _ скорости звука.
Из первого закона термодинамики для потока, с учетом уравнений
Неразрывности и адиабатного процесса, после ряда преобразований можно
Получить уравнение, связывающее изменение скорости на выходе из сопла в
зависимости от изменения его сечения:
p
dp
w
А w
f
df ⋅
−
=
2 2
зв
γ
. (3.8)
В случае сопла (dp < 0), анализ уравнения (3.8) показывает, что при
Условии: 2 2
зв а −w > 0, (w < азв _ дозвуковое течение газа) производная
f
df < 0, следовательно, сужение канала сопла ведет к росту скорости потока,
А расширение _ к ее уменьшению. Но при условии 2 2
зв а −w < 0, т.е. при
Сверхзвуковой скорости потока f
df > 0, следовательно, расширение канала
Сопла приведет к дальнейшему росту скорости потока.
Таким образом, чтобы получить скорость на выходе из сопла выше
скорости звука, сопло должно состоять из участка сужения до f кр = f min,
Где будет достигнута скорость звука, а далее за ним должен быть расширяю-
Щейся участок сопла.
Впервые профиль такого сопла был предложен Лавалем.
Характер изменения параметров газа по длине сопла Лаваля дан на рис. 3.2.
Отношение максимальной скорости на выходе из сопла Лаваля к
критической скорости определяется формулой:
γ 1
γ 1
кр
Max
−
= + w
w
. (3.9)
Для двухатомного газа при γ = 1,4, отношение равно 2,45.
Диффузоры