Главная | Обратная связь

Упругость и модули упругости; напряжение и деформация

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Упругостью называется свойство тела (материала) сопротивляться изменениям размеров или формы и возвращаться в недеформированное состояние при прекращении действия внешних сил.

Напряжение – сила, действующая на единицу площади. Виды напряжений: нормальное и сдвиговое (касательное).

Деформация – изменение формы и размеров упругого тела под действием напряжений. Виды деформаций: нормальные, сдвиговые.

Закон Гука – величина относительной деформации (характеризующая изменение формы или размеров тела) пропорциональна величине напряжения (т.е. силы, действующей на единицу площади поверхности).

Упругие постоянные:

- постоянные Ламе: l (модуль продольной деформации), m (жесткость или модуль сдвига);

- s - отношение поперечной деформации к продольной (коэффициент Пуассона);

Е – модуль Юнга;

k – объемный модуль упругости.

 

модуль Юнга (Е)

 

коэффициент Пуассона (s)

 

модуль всестороннего сжатия (k)

Упругость и модули упругости; напряжение и деформация

Любое тело под действием приложенных к нему сил меняет свою форму. Если же силы достаточно велики, то тело может поломаться или разрушиться.

Если на тело, например, на вертикально подвешенный металлический стержень (на рис.1), действует сила, то его длина изменяется. Опыт показывает, что если изме­нение длины DL мало по сравнению с длиной тела, то это изменение пропорционально приложенной силе (в данном случае весу подвешенного тела).

Рис.1. Закон Гука: удлинение DL пропорционально приложенной силе

 

 

На это впервые обратил внимание Роберт Гук (1635-1703). Такую пропорциональ­ность можно записать в виде соотношения, которое иног­да называют законом Гука:

 

, (1)

 

где F – сила, растягивающая тело (в частности, вес другого тела), DL – приращение длины, a k – коэффициент пропорциональности. Соотношение справедливо почти для любого твердого тела, будь то железный стержень или кость, но лишь до определенного предела. Если сила слишком велика, то тело получит столь сильное растяжение, что, в конечном счете, разорвется.

На рис. 2 приведен типичный график зависимости удлинения от величины приложенной силы. Вплоть до точки, называемой пределом упругости, длина тела после прекраще­ния действия силы снова возвратится к первоначальной. Эта область называется областью упругости (или упругих деформаций). За пределом упругости деформация стано­вится полностью или частично необратимой. Для боль­шинства материалов линейность сохраняется почти до предела упругости, и график в этой области идет по прямой. За пределом упругости график отклоняется от прямой и DL уже не связано с F простым соотношением (1). Если тело продолжать растягивать далеко за пре­делом упругости, то оно разорвется. Максимальная сила, которую можно приложить к телу, не разрушив его, называется пределом прочности материала, из которого изготовлено тело.

 

 

Рис.2. Связь между силой и удлинением для твердого тела.

 

Удлинение тела, такого, как стержень на рис. 1, зависит не только от приложенной силы, но и от мате­риала, из которого оно изготовлено, а также от его геометрических размеров. Эти факторы можно учесть в формуле (1), если включить их в постоянную k. Сравнивая стержни, изготовленные из одного и того же материала, но имеющие различные длины и поперечные сечения, обнаружим, что при одной и той же приложенной силе удлинение (которое по-прежнему предполагается ма­лым по сравнению с длиной стержня) пропорционально первоначальной длине и обратно пропорционально пло­щади поперечного сечения стержня. Иными словами, чем длиннее тело, тем больше оно удлинится при данной величине силы, а чем толще тело, тем меньше его удли­нение. Эти экспериментальные факты с учетом соотноше­ния можно выразить следующим образом:

(2)

 

где L₀ – первоначальная длина тела, А – площадь попе­речного сечения, a DL – изменение длины тела под дей­ствием приложенной силы F. Коэффициент пропорциональности Е известен как модуль продольной упругости, или модуль Юнга. Его значение зависит только от материала, из которого изготовлено тело. Поскольку Е зависит только от материала и не зависит от формы и размеров тела, для практических расчетов более полезно применять формулу (2), чем (1). Из (2) видно, что изменение длины тела прямо пропорционально длине тела L₀ и отношению силы к площади поперечного сечения F/A. Отношение F/A назы­вают механическим напряжением(или просто напряже­нием).

 

.

Отношение изменения длины к первоначальной длине называется относительным удлинением:

.

Таким образом, относительное удлинение характеризует степень изменения длины и является мерой деформации рассматриваемого нами стержня.

Выражение (2) можно переписать в виде:

.

 

Т.е. относительное удлинение прямо пропор­ционально напряжению.

Стержень на рис. 1 испытывает растяги­вающее напряжение. Действительно, на стержень действует не только сила, приложенная к его нижнему концу и дей­ствующая вниз, но, поскольку стержень находится в равновесии, еще и равная по величине и направленная вверх сила со стороны подвеса. Растяги­вающее напряжение существует во всем объеме материала стержня. Таким образом, приложенные к телу внешние силы создают внутри него внутренние силы (точнее, внутренние напря­жения).

Относительное удлинение, вызванное растягивающим напряжением, – это лишь один из видов деформации, ко­торой могут подвергаться материалы. Имеются еще два наиболее распространенных типа напряжений – напряже­ние сжатия и напряжение сдвига. Напряжение сжатия прямо противоположно растягивающему напряжению.

На рис. 3 иллюстрируются напряжение растяжения, сжатия, а также третий тип напряжения на­пряжение сдвига. Напряжение сдвига тело испытывает в случае, когда две равные по величине и противоположные по направлению силы приложены навстречу друг другу к двум противоположным сторонам тела.

 

Рис.3. Три типа напряжений:

а – растяжение; б – сжатие; в – сдвиг.