 |
|
Уравнения с модулем
Задачи с параметрами
Уравнения с модулем
задачи типа заданий С 5
Дихтярь М.Б.
Общие сведения
1. Абсолютной величиной, или модулём числа х, называется само число х, если 
число 
, если 
ноль, если 
При решении уравнения с модулем пользуемся тем, что
2. Построение графиков функций, содержащих модуль.
а) Построить график функции 
где 
Решение.Имеем
Графиком функции 
, где 
является «уголок» с вершиной в точке 
и сторонами
График функции , где 
схематично изображён на рисунке 1, для случая когда 
б) Построить график функции 
где 
Решение.Имеем
Графиком функции 
, где 
, является «уголок» с вершиной в точке 
и со сторонами
График функции , где ,схематично изображён на рисунке 2, для случая когда 
в) Построить график функции 
.
Решение. Найдём нули выражений, стоящих под знаком модуля: 
Функция 
линейная на каждом промежутке 
, 
, 
. Для построения графика функции:
1) найдём значения функции 
в тех точках, в которых выражения, стоящие под знаком модуля равны нулю, а также в одной из точек, например, в точке 
, принадлежащей промежутку , и, например, в точке 
, принадлежащей промежутку . Имеем 
, 
;
2) построим точки: (– 2; –1), (–1; 1), (2; 1), (3; 3);
3) на каждом промежутке , , построим часть прямой (функция линейная на каждом промежутке), проходящей через точки, абсциссы которых принадлежат соответствующему промежутку.
График функции схематично изображён на рисунке 3.
г) Построить график функции 
.
Решение. 1. Найдём нули выражений, стоящих под знаком модуля:
Нули выражений, стоящих под знаком модуля: 
2. Так как функция линейная на каждом промежутке 
, 
, 
, 
, 
, то для того чтобы построить график функции на каждом промежутке проделаем следующее.
1) Найдём значения функции 
в тех точках, в которых выражения, стоящие под знаком модуля равны нулю, а также в точках 
и 
.
Имеем 
.
2) На плоскости 
построим точки 
3). 
На каждом промежутке , , , , построим часть прямой, проходящей через точки, абсциссы которых принадлежат соответствующему промежутку.
График функции схематично изображён на рисунке 4.
3. Построение графика функции 
.
График функции получается из графика функции 
следующим образом:
а) строим график ;
б) те точки графика, для которых 
, остаются без изменения, а точки графика, для которых 
отображаются относительно оси х.
4.Примеры
Построить графики функций
1) 
2) 
3) 
Решения.
1) а) Имеем 
Из последнего уравнения следует, что графиком функции 
является парабола с вершиной в точке (2; –1), ветви которой направлены вверх. Точки пересечения параболы с осью абсцисс находим из уравнения
Строим график параболы (рис. 5 а).
б) Строим график функции 
(рис. 5 б).
2) а) Имеем 
Из последнего уравнения следует, что графиком функции 
является парабола с вершиной в точке (2; 1), ветви которой направлены вверх. Так как вершина параболы расположена выше оси абсцисс и её ветви направлены вверх, то парабола не пересекает ось абсцисс. Тогда 
.
Таким образом, имеем 
.
Графиком функции 
является парабола 
.
Замечание. Графиком функции 
является гипербола, асимптотами которой являются прямые 
3)
Имеем
Графиком функции 
является гипербола (рис. 6 а)), асимптотами которой являются прямые 
б) Строим график функции 
(рис. 6 б)).
Уравнения с модулем
Основные методы решения уравнений с модулем рассмотрим на примерах 1. – 3..
Метод интервалов
1. Сколько корней в зависимости от параметра а имеетуравнение 
? Найдите эти корни.
Решение. 1. Приравняем нулю выражения, стоящие под знаком модуля: 
. Точки 
и 
разбивают числовую ось на три промежутка: 
.
2. Рассмотрим исходное уравнение на каждом промежутке.
Замечание. При раскрытии модуля надо учитывать знак выражения, стоящего под модулем на соответствующем промежутке. Так как знак выражения на каждом промежутке постоянный, то знак выражения на промежутке совпадает со знаком выражения в любой точке этого промежутка.
Раскрывая модули, заменим исходное уравнение равносильной совокупностью трёх уравнений:
а) Рассмотрим первое уравнение совокупности (1.1).
Корнем исходного уравнения на промежутке 
является 
, если
Итак, корнемисходного уравнения на промежутке является 
, если 
б) Рассмотрим второе уравнение совокупности (1.1).
Корнем исходного уравнения на промежутке 
является 
, если
Итак, корнем исходного уравнения на промежутке является 
, если 
в) Рассмотрим третье уравнение совокупности (1.1).
Корнем исходного уравнения на промежутке 
является
, если 
Итак, корнем исходного уравнения на промежутке является 
, если 
Нанесём корни уравнения на числовую прямую параметра (рис.7).
Ответ. Если 
, то нет корней; если 
, то один корень 
; если 
, то два корня , ; если 
, то два корня , 
.
Графический метод
2. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение 
имеет не менее трёх корней.
Решение.Рассмотрим функции 
Уравнение 
задаёт семейство прямых, проходящих через начало координат (исключая ось ординат). На рисунке 8 изображён график функции 
а также графики представителей семейства .
Отметим. Парабола и прямая (не параллельная оси ординат) могут 1) пересекаться в одной точке (прямая является касательной к параболе); 2) пересекаться в двух точках; 3) не пересекаться.
Исходное уравнение имеет три корня при тех значениях параметра а, при которых графики функций 
пересекаются в трёх точках.
Если касательной к параболе 
является прямая 
и абсцисса точки касания 
, то прямая
пересекает график функции 
в трёх точках (рис. 8).
Найдём значение параметра 
.
Отметим: прямая 
является касательной к параболе 
, если имеет единственное решение система уравнений
Последняя система имеет единственное решение, если имеет единственное решение квадратное уравнение 
Прямая является касательной к параболе , если имеет единственное решение квадратное уравнение
.
Квадратное уравнение 
имеет единственное решение при тех значениях параметра 
, при которых равен нулю дискриминант Dэтого уравнения. Имеем
Так как дискриминант D квадратного уравнения равен нулю при 
или 
то решением квадратного уравнения является 
, где или 
Точка является абсциссой точки касания прямой и параболы. Если 
то прямая пересекает график функции в трёх точках.
Если , то 
не удовлетворяет условию 
.
Если то 
, удовлетворяет условию 
. Тогда
прямая 
пересекает график функции в трёх точках. Итак, исходное уравнение при 
имеет три корня.
2. Исходное уравнение имеет четыре корня при тех значениях параметра а, при которых графики функций
пересекаются в четырёх точках.
Из рисунка 8 следует, что прямая 
, где 
, пересекает график функции 
в четырёх точках. Тогда исходное уравнение при имеет четыре корня.
Ответ. 
.
Метод областей
3. Решите уравнение 
.
Решение. На плоскости 
построим множество точек, удовлетворяющих исходному уравнению.
Для построения множества точек проделаем следующее.
1. Приравняем нулю выражения, стоящие под знаком модуля: 
и 
. Откуда следует: 
и 
.
На плоскости 
построим прямые и . Эти прямые разобьют плоскость на 4 области.
2. Рассмотрим исходное уравнение в каждой области. Для этого надо раскрыть модули в каждой области.
Замечание. При раскрытии модулей надо учитывать знак выражения, стоящего под модулем в соответствующей области. Так как знак в каждой области постоянный, то знак выражения в области совпадает со знаком выражения в любой точке этой области.
1) В области I исходное уравнение равносильно системе
В области I строим часть прямой 
, которая параллельна прямой и пересекает прямую 
в точке А(–1; 3,5).
2) В области II исходное уравнение равносильно системе
В области II строим часть прямой 
, которая параллельна оси абсцисс и пересекает прямые и 
соответственно в точках А(–1; 3,5) и В(–3,5; 3,5).
3) В области III исходное уравнение равносильно системе
В области III строим часть прямой 
, которая параллельна оси ординат и пересекает прямую в точке В(–3,5; 3,5).
4) В области IV исходное уравнение равносильно системе
Ни одна точка не удовлетворяет последней системе.
График исходного уравнения изображён на рисунке 9 (графиком исходного уравнения является совокупность части прямых: , , ). Для того чтобы найти решения исходного уравнения при каждом значении параметра 
, надо провести прямые (если прямая пересекает график исходного уравнения в n точках,тоисходное уравнение при имеет n решений) и найти абсциссы точек пересечения графиков исходного уравнения и прямой . Из рисунка 9 следует ответ.
Ответ. При 
уравнение не имеет решений; при 
решением уравнении являются 
(уравнение имеет бесконечное множество решений); при 
уравнение имеет два решения 
, 
4. Сколько решений в зависимости от параметра а имеетуравнение 
на отрезке 
?
Метод интервалов.
Решение.1. Если 
то уравнение на отрезке не имеет решений, так как оно принимает вид 
2. Пусть 
Имеем 
.
Замечание. Если пара 
удовлетворяет уравнению, то и пара 
также удовлетворяет этому уравнению.
Из замечания и 1. следует: уравнение надо рассмотреть при 
Если 
, то исходное уравнение равносильно уравнению
, где 
и 
(4.1)
Раскрывая модули, на отрезке заменим уравнение (4.1) равносильной совокупностью уравнений
2) Рассмотрим первое уравнение совокупности (4.2), если 
Так как 
то 
, а тогда 
Решением уравнения (4.1), а значит и исходного уравнения, на отрезке 
является 
, если
Итак, если 
, то 
является решением уравнения (4.1), а значит и исходного уравнения на отрезке .
3) Рассмотрим второе уравнение совокупности (4.2), если
а) Если 
то легко проверить, что уравнение 
, а значит и исходное уравнение, не имеет решений.
б) Пусть 
Тогда
Решением уравнения (4.1), а значит и исходного уравнения, на
промежутке 
при является 
, если
Итак, если 
, то 
является решением уравнения (4.1), а значит и исходного уравнения на промежутке .
Из 1. и 2. с учётом замечания следует ответ.
Ответ. Если 
, то нет решений; если 
, то одно решение; если 
, то два решения.
Метод областей.
Решение. На плоскости построим множество точек, удовлетворяющих уравнению
, где и 
(4.3).
Уравнение (4.3) равносильно совокупности (см. первый метод)
(4.2)
Легко проверить, что не удовлетворяет исходному уравнению. Поэтому рассмотрим первое уравнение совокупности (4.2) при 
. Имеем
На отрезке 
строим часть гиперболы 
, асимптотой которой является прямая 
. Гипербола пересекает прямую 
в точке А 
.2. Второе уравнение совокупности (4.2) равносильно системе
На промежутке 
строим часть гиперболы 
, асимптотой которой является прямая . Гипербола пересекает пря-
мую 
в точке В 
.
График уравнения (4.3) изображён на рисунке 10.
Из рисунка 10 для 
и замечания следует ответ.
Ответ. Если , то нет решений; если 
, то одно решение; если , то два решения.
Графический метод.
Решение. Если , то исходное уравнение равносильно уравнению (4.3)
Рассмотрим функции 
, 
где и 
.
1. Графиком функции , где , является часть прямой, проходящей через точки А(–3; 2) и В(5; 10).
2. Графиком семейства функций 
является «подвижный уголок» с неподвижной вершиной в точке С(–1; 0) и подвижными сторонами
3. Найдём при каких значениях параметра а график функции проходит через точку А(–3; 2) и определим сколько решений имеет исходное уравнение в этом случае.
а) График функции проходит через точку А(–3; 2), если 
б) Если 
, то функция принимает вид 
и на отрезке 
имеем
в) Так как прямая 
параллельна прямой 
, а прямая 
пересекает прямую в точке А(–3; 2), то график функции 
на отрезке пересекает прямую в одной точке А(–3; 2) (рис.11). Тогда исходное уравнение при 
имеет единственное решение.
4. Найдём при каких значениях параметра а график функции
проходит через точку В (5; 10) и определим сколько решений имеет исходное уравнение в этом случае.
а) График функции проходит через точку В (5; 10), если 
б) Если 
, то функция принимает вид 
и на отрезке имеем
в) Точку пересечения прямых 
, , где 
найдём из системы
Прямые , пересекаются на отрезке 
в точке С(–2,5; 2,5).
г) Точку пересечения прямых 
и , где 
найдём из системы
Прямые , на промежутке 
пересекаются в точке В(5; 10).
д) График функции 
на отрезке пересекает прямую в двух точках: В(5; 10), С(–2,5; 2,5) (рис.11).
Исходное уравнение при 
имеет два решения.
Из рисунка (рис.11) для и замечания следует ответ.
Ответ. Если , то нет решений; если 
, то одно решение; если , то два решения.
Замечание. Графический метод даёт наглядную интерпретацию решения задачи. С помощью этого метода может быть получен ответ наглядно и быстро, но очень часто только графическая интерпретация оказывается недостаточной и для полного обоснования требуются дополнительные исследования.
5. При каких значениях параметра 
уравнение 
имеет единственный корень; имеет два корня; не имеет корней?
Решение. 1. Рассмотрим функции 
где . Построим графики функций 
и 
при 
(областью определения функции 
является интервал 
).
Графиком функции 
, где является «уголок» с вершиной в точке А(2; 1) и сторонами
Функция для каждого значения параметра а задаёт семейство логарифмических функций,проходящих через точку В(1; 0).
На рисунке 12 а) изображён график функции , где 
а на рисунке 12 б) изображён график функции 
, если 
, при некоторых значениях параметра .
2. Если график функции 
проходит через точку А(2; 1), то он может пересекать график функции в одной точке А(2; 1) или в двух точках (одна из этих точек А(2; 1)). В этом случае исходное уравнение имеет одно или два корня.
График функции проходит через точку А(2; 1), если
При 
исходное уравнение принимает вид
(5.1)
3. Уравнение (5.1) равносильно совокупности уравнений
(5.2)
1) Рассмотрим первое уравнение совокупности (5.2).
Так как функция 
убывает, а функция 
возрастает, то графики функций пересекаются только в одной точке – это точка (2; 1), а тогда уравнение (5.1) при 
, а значит и исходное уравнение при и , имеет единственный корень: 
.
2) Рассмотрим второе уравнение совокупности (5.2).
Найдём число точек пересечений графиков функций 
при 
Рассмотрим функцию
Найдём промежутки монотонности функции 
.
а) Найдём производную функции 
. Имеем
б) Определим знак 
если 
Так как 
, то 
. Так как функция 
убывает, если 
то 
, а тогда 
Таким образом, 
если . Тогда функция возрастает на интервале 
Так как 
и функция возрастает на интервале 
, то
(5.3)
Из системы (5.3) следует: графики функций 
и
не пересекаются при 
. Это означает, что уравнение (5.1) при , а значит и исходное уравнение при 
и не имеет корней.
Из 1) и 2) следует, что уравнение (5.1), а значит и исходное при , имеет единственный корень.
4. Построим графики функций и при и . Для этого воспользуемся следующим: так как 
то найдётся такое значение 
что для всех 
выполняется неравенство 
На рисунке 12 в) изображены графики функций 
если 
и .
Из рисунка 12 в) следует ответ.
Ответ. Один корень, если ; два корня, если 
; нет корней, если 
6. Найдите все значения параметра , при которых уравнение 
имеет единственный корень.
Решение. Рассмотрим функции 
Построим графики функций и при (областью определения функции является интервал ).
Графиком функции 
, где , является «уголок» с вершиной в точке А(2; 1) и сторонами
Функция для каждого значения параметра а задаёт семейство логарифмических функций,проходящих точку В(1; 0).
На рисунке 14 а) и изображён график функции 
, где а на рисунке 14 б) изображён график функции , если , при некоторых значениях параметра .
2. Если график функции проходит через точку А(2; 1), то он может пересекать график функции в одной точке А (2; 1) или в двух точках (одна из этих точек А (2; 1)). В этом случае исходное уравнение имеет одно или два корня.
График функции проходит через точку А(2; 1), если
При исходное уравнение принимает вид
(6.1)
3. Уравнение (6.1) равносильно совокупности уравнений
(6.2)
1) Рассмотрим первое уравнение совокупности (6.2).
Так как функция 
убывает, а функция
возрастает, то графики этих функций пересекаются только в одной точке – это точка А(2; 1), а тогда уравнение (6.1) при , а значит и исходное уравнение при и , имеет единственный корень: 
.
2) Рассмотрим второе уравнение совокупности (6.2).
Найдём число точек пересечений графиков функций ,
при
Рассмотрим функцию
Найдём промежутки монотонности, точки экстремума функции 
а) Найдём производную функции . Имеем
б) Из уравнения 
находим критические точки. Имеем 
(Отметим: 
).
б) Критическая точка 
разбивает интервал 
на интервалы 
, на каждом из которых 
сохраняет знак.
в) Определим знаки функции . Знаки функции показаны на рисунке 13.
г) Из рисунка 13. делаем вывод.
Функция убывает на промежутке 
и возрастает на промежутке 
(критическая точка, в которой функция определена, принадлежит и промежутку возрастания, и промежутку убывания).
В точке функция имеет минимум. Так как функция убывает на промежутке и 
то на этом промежутке функция отрицательная. Тогда 
.
Замечание. Если функция непрерывна на отрезке [a; b] и на концах отрезка имеет значения разных знаков, то существует такая точка 
что 
Вычислим: 
Так как , 
и функция непрерывна при , то существует такая точка 
что Это означает, что функции 
и 
пересекаются в точке 
Тогда уравнение (6.1) при 
, а значит и исходное уравнение при