Главная | Обратная связь

Математическое описание систем управления: дифференциальное уравнение, характеристический многочлен, передаточная функция.

Математическим описанием системы или любого его элемента называется правило, определяющее количественную связь между выходным и входными сигналами. Функционирование системы управления и любого ее элемента, а также большинства процессов в природе может быть достаточно точно описано с помощью дифференциальных уравнений (ДУ).

Если х- входная, а у - выходная координата, z - внешнее возмущение, то уравнение работы системы имеет вид:

- уравнение динамики системы (1),описывает поведение системы во всех ее режимах.

Если входное воздействие const, то со временем выходная величина может установится на некотором постоянном значении (не всегда). Тогда уравнение называют уравнением статики.

- уравнения статики системы.В установившемся режиме работы , поэтому все производные будут равны нулю.

ДУ линейной системы управления в общем виде будет выглядеть:

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1y^{(n - 1)} + ... + a₁y' + a₀y = 0. Коэффициенты a_n-1, ... , a₁, a₀ — постоянные действительные числа. Попытаемся найти решение уравнения в виде y(x) = exp(λx). Подставим функцию y(x) = exp(λx) в уравнение:

λⁿexp(λx) + a_n-1λ ^n-1exp(λx) + ... + a₁λexp(λx) + a₀exp(λx) = 0,

exp(λx)(λⁿ + a_n-1 λ^n-1 + ... + a₁λ + a₀) = 0. Поскольку exp(λx) ≠ 0, функция y(x) = exp(λx) будет решением линейного однородного уравнения тогда и только тогда, когда

λⁿ + a_n-1λ^n-1 + ... + a₁λ + a₀ = 0. Это решение называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Многочлен n-й степени P_n(x) = λⁿ + a_n-1λ^n-1+ ... + a₁λ + a₀ называется характеристическим многочленом уравнения.

 

Передаточная функция системы - отношение изображения выходного сигнала к изображению входного при нулевых начальных условиях. .

Применим преобразование Лапласа к анализу систем управления. Дифференциальное уравнение линейной системы управления в общем виде будет (см. формулу (3)):

.

Умножая все слагаемые на и интегрируя, получим

 

Применим к этой зависимости правило дифференцирования оригиналов , получим .

Введём обозначение . Функцию .

Т.е. это дробь, в знаменателе которой записывается левая часть ДУ с формальной подстановкой S вместо y и степени вместо производной, а в числителе – правая часть ДУ с такой же формальной подстановкой.

 

Вопрос №6

Переходная функция h(t) – реакция системы на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.

Найдем связь между переходной и передаточной функциями

Так как Y(s) и X(s)-изображения по Лапласу от выходного и входного сигналов

, то

Преобразование Лапласа от един. ступенчатой ф-ии: , следовательно преобразование от переходной ф-ции будет .

Таким образом переходная ф-ия:

Весовая функция – реакция системы на единичный ступенчатый импульс .

Так как изображение от входного воздействия , то

Таким образом, весовая ф-ия:

Найдём связь между переходной и весовой функциями, для чего продифференцируем переходную функцию: . Подставив сюда значение H(s), имеем: . Но , следовательно или

Вопрос №7