Главная | Обратная связь

Получение передаточной функции системы

Если имеются уравнения всех звеньев системы, то описание всей системы является система этих уравнений. Исключив из нее промежуточные переменные можно получить одно общее дифференциальное уравнение.

Однако намного проще получить описание системы, если оперировать передаточными функциями звеньев. Для этого имеется ряд типовых правил.

Передаточные функции цепочки последовательно соединенных звеньев.

Если все звенья системы соединены последовательно, как это показано на рисунке 18, то имеем:

Рисунок 18

 

Систему уравнений:

Исключив промежуточные переменные, получим:

Т.е. такую цепочку звеньев можно заменить одним звеном с передаточной функцией вида:

Таким образом, передаточная функция цепочки последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций этих звеньев.

 

Параллельное соединение звеньев направленного действия

Если система состоит из n- звеньев, соединенных параллельно, как это изображено на рисунке, то имеем уравнение вида:

Таким образом, передаточная функция группы параллельно соединенных звеньев равная сумме передаточных функций этих звеньев, т.е.

Звенья, охваченные обратной связью

Если система состоит из звеньев, соединенных так как это показано на рисунке 19,т.е часть сигнала с выхода через цепь называемую цепью обратной связи, вновь подается на вход, то эта система будет описываться уравнением:

Рисунок 19

 

В уравнении знак «плюс», если обратная связь положительная, т.е поступает в фазе с входным сигналом , а знак «минус», если обратная связь отрицательная, т. е поступает в противофазе с входным сигналом .

Исключив из уравнения, получим:

где

Функция называется передаточная функция разомкнутой системы или петлевая передаточная функция.

Построение частотных характеристик системы

Связь между частотными функциями системы и составляющих ее звеньев определяется выражением для передаточной функции, если произвести подстановку .

Для цепочки последовательно соединенных звеньев амплитудно-фазовая характеристика определяется из отношения:

где – амплитудно-фазовая функция i-го звена цепи.

Отсюда:

т.е.

,

где

и – АЧХ и ФЧХ системы, а

и – АЧХ и ФЧХ i-го звена

Логарифмирование уравнения для АЧХ дает следующее выражение для построения ЛАХов

где – ЛАХ i- отдельного звена.

Наиболее просто строятся частотные характеристики цепочки звеньев в виде ЛАХ и ЛФХ: они получаются путем суммирования ординат характеристик отдельных звеньев.

ЛАХ цепочки звеньев строится сразу, без построения ЛАХов отдельных звеньев. Вначале откладывается ордината общей ЛАХ при , равная , где – коэффициент передачи всей цепочки звеньев равной произведению коэффициентов передачи этих звеньев.

Затем через найденную точку проводят асимптоту с наклоном , где – число дифференцирующих звеньев, а – число интегрирующих звеньев.

После этого на оси абсцисс откладывают значения сопряжающих частот , где – постоянные времени звеньев.

Далее, первая асимптота проводится до наименьшей сопряжающей частоты. В этой точке производится ее излом с изменением наклона в соответствии с типом звена, которому принадлежит эта сопрягающая частота. Далее процедура повторяется.

Амплитудно-фазовая характеристика последовательно соединенных звеньев равняется сумме амплитудно-фазовых характеристик отдельных звеньев и соответственно строится путем графического суммирования ординат амплитудных характеристик.