Здавалка
Главная | Обратная связь

Основы теории устойчивости САР



Основным вопросом анализа САР является вопрос об их устойчивости. Это важно:

· во-первых, потому, что неустойчивые САР непригодны для практического пользования;

· во-вторых: даже для устойчивой системы важно знать запасы устойчивости и влияние параметров на это.

Устойчивая система после окончания переходного процесса переходит в новое вынужденное состояние. Устойчивость системы может быть определена в результате решения однородного дифференциального уравнения, описывающего свободное движение системы.

Решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

где – корни характеристического уравнения

– постоянные, определяемые из начальных условий.

Характеристическое уравнение n-го порядка имеет n-корней .

Эти корни могут быть действительными или комплексными.

Действительные корни дают в решении уравнения апериодическую составляющую вида:

Ci exp(pit)

Очевидно, что если , то слагаемые будут стремиться к нулю при .

Следовательно, система будет устойчивой.

Если , то будет не убывающей и система будет неустойчивой.

Комплексные, попарно-сопряженные корни:

соответствуют колебательным составляющим для свободного решения системы:

Если действительная часть комплексно-сопряженных корней отрицательна , то составляющая будет носить характер затухающих колебаний, если , то колебания будут незатухающими, а система будет неустойчивой.

Таким образом, система неустойчива, если хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положительную или равную нулю действительную часть.

Однако метод анализа устойчивости по корням характеристического уравнения на практике – затруднителен. Поэтому на практике применяют косвенные методы, называемые критериями устойчивости.

Алгебраические критерии

Алгебраические критерии были предложены Раусом (1875) и Гурвицем (1895). Они отличаются только деталями.

Для применения критерия Гурвица строится специальный определитель из коэффициентов характеристического уравнения.

 

Для уравнения 6-го порядка

а5 а6 о о о о а3 а4 а5 а6 о о а1 а2 а3 а4 а5 а6 о а0 а1 а2 а3 а4 о о о а0 а1 а2 о о о о о а0 Анализируемое уравнение не будет иметь корней с положительной действительной частью, т.е. САР будет устойчива, если и в определителе Гурвица миноры будут положительны

Миноры Гурвица являются частями определителя

и т.д.

Частотные критерии устойчивости САР

Ученый Михайлов А.В. в 1938 г. Применил частотные методы анализа устойчивости САР, основанные на рассмотрении поведения замкнутой системы при подаче на ее вход гармонического колебания с частотой, изменяющейся от 0 до .

Характеристическое уравнение системы:

Его можно записать в другой форме:

где – корни уравнения

Заменив в уравнении на получим:

Каждая скобка представляет собой разность векторов на комплексной плоскости, т.е. произведение векторов – тоже вектор, у которого аргумент равен семе аргументов (рисунок 20).

Рисунок 20

Известно, что если все корни уравнения имеют отрицательную вещественную часть, то система устойчива, следовательно, изменение аргумента на при изменении частоты от до , свидетельствует об устойчивости системы. Если один из корней характеристического уравнения лежит в правой полуокружности, то изменение аргумента будет:

Таким образом, критерий Михайлова может быть сформулирован так:

Система АР будет устойчивой, если при изменении частоты от до , изменение аргумента будет , где n-порядок характеристического уравнения.

Критерий корневого годографа

Помимо критерия Михайлова, применяющего для анализа устойчивости замкнутых САР, широкое применение получил метод критерия Найквиста, благодаря его простоте и наглядности. Этот критерий позволяет связать стационарные частотные свойства разомкнутой системы с нестационарными свойствами замкнутой системы.

Для исследования замкнутой системы на устойчивость по критерию Найквиста – эту систему разрывают в какой-либо точке соединения двух звеньев. При этом она превращается в разомкнутую.

На образованной в точке разрыва вход системы подается колебание постоянной амплитуды и частоты . Пройдя через систему, это колебание становится на выходе колебанием с той же частотой, но с иными амплитудой и фазой.

Если на входе

,

то на выходе

Комплексный коэффициент передачи системы:

Значения при изменении можно изобразить в виде годографа этого вектора на комплексной плоскости, т.е. в виде амплитудно-фазовой характеристики.

Критерий Найквиста формулируется следующим образом:

Если в системе, устойчивой в разомкнутом состоянии, годограф амплитудно-фазовой характеристики не охватывает точку с координатами то эта система будет устойчивой и в замкнутом состоянии. Если же годограф охватывает эту точку, то в замкнутом состоянии эта система будет не устойчивой (рисунок 21, кривая 2).

Рисунок 21

 

Об устойчивости САР можно судить по АЧХ и ФЧХ.

У системы устойчивой в замкнутом состоянии на частоте, при которой АЧХ проходит через уровень 1, ФЧХ не должна достигать уровня , АЧХ должна иметь уровень меньше 1(рисунок 22, кривые 1 и 2 – соответственно)

Рисунок 22

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.