РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ПРИМЕРОВ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Решение. Первое уравнение умножается на (-2) и прибавляется ко второму уравнению, затем первое уравнение умножается на (-3) и прибавляется к третьему. Таким образом, неизвестное х исключается из двух последних уравнений. Эти преобразования лучше показать на расширенной матрице

Вычтя во второй матрице из третьей строки удвоенную вторую, мы исключаем неизвестное у из третьего уравнения. После таких преобразований получается система

Из третьего уравнение легко находится . Затем из второго уравнения получаем . Наконец, из третьего уравнения получаем .

Нетрудно проверить, что совокупность , , является решением данной системы.

2.Определить тип кривой , найти ее параметры; определить угловой коэффициент прямой . Найти точки пересечения данных линий и сделать чертеж.

Решение. Приведем уравнение кривой к каноническому виду , разделив на 225. Получим уравнение эллипса .Его большая полуось , малая полуось . Центр совпадает с началом координат.

Уравнение прямой имеет вид «в отрезках» , что удобно для построения. Для нахождения углового коэффициента прямой приведем ее к виду , выразим у через х: .

Угловой коэффициент .

Для нахождения точек пересечения этих линий решим систему

Возведем второе уравнение в квадрат

и подставим в первое уравнение:

Нашли точки пересечения (0; 3) и (5; 0), что наглядно видно на чертеже.

–5 0 5 х

-3

3. Даны координаты вершин пирамиды АВСD:

Требуется:

1) записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов;

2) найти угол между векторами и ;

3) найти проекцию вектора на вектор ;

4) найти площадь грани АВС;

5) найти объем пирамиды АВСD;

6) составить уравнение ребра АС;

7) составить уравнение грани АВС.

Решение.

1) Произвольный вектор представляется в системе орт по формуле

где – координаты вектора . Если заданы точки , , то для вектора

то есть

Воспользовавшись формулой и координатами заданных точек А, В, С, D, получим:

;

Если вектор , то его модуль вычисляется по формуле:

Модули найденных векторов

;

2) Известна формула

где – скалярное произведение векторов и , которое можно вычислить следующим образом:

У нас

то есть .

3) Известно, что

то есть в нашем случае

4) Воспользуемся формулой нахождения площади треугольника, построенного на векторах и

где – векторное произведение векторов, которое можно вычислить по следующему правилу:

В нашем примере , причем

Таким образом, (кв. ед.).

5) Объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах можно найти по формуле

где – смешанное произведение векторов, которое вычисляется следующим образом:

У нас , где

то есть (куб. ед.).

6) Известно, что уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и имеет вид:

Подставив координаты точек А и С, получим

то есть уравнение ребра АС окончательно запишется следующим образом:

или .

7) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , , можно записать в виде

Подставляя в него координаты точек А, В, С, получим

4.Провести полное исследование функции методами дифференциального исчисления и построить ее график.

Решение.

1) Область определения функции

2) Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва.

Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х = 4. Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:

Таким образом, точка х = 4 является для заданной функции точкой разрыва второго рода, а прямая х = 4 – вертикальной асимптотой графика.

3) Исследование на экстремум и промежутки монотонности.

х		–2	(–2; 4)		(4; 10)
	+	+	–	не сущ.	–		+
		max				min

4) Исследование графика на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Так как , то график заданной функции точек перегиба не имеет. Остается выяснить вопрос об интервалах его выпуклости и вогнутости:

х
	–	не сущ.	+

5) Исследование графика на наличие наклонных асимптот.

Таким образом, прямая – наклонная асимптота графика.

6) График заданной функции пересекает ось Оу в точке (0; –5).

По результатам исследования строим график.

-4 4 х

5. Решить систему двух линейных уравнений в области комплексных чисел по формулам Крамера. Найденные изобразить на комплексной плоскости; в виде векторов и записать в показательной и тригонометрической формах.

Решение. Найдем решение системы линейных уравнений по формулам Крамера . Для этого вычислим главный определитель системы и определители , учитывая, что – комплексное число, где .

Находим :

(т.к. );

Таким образом, решение данной системы уравнений в алгебраической форме записи:

в векторной форме записи

0,5

-2 0 3,5

-2

Найдем модуль и аргумент комплексных чисел ( или ; в 1 и 4 четвертях; во 2 и 3 четвертях, знак «+» или «–» выбираем так, чтобы аргумент был наименьшим по модулю).