КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4

7.Классическим методом найти частное решение системы дифференциальных уравнений удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Решением этой системы является пара функций , , удовлетворяющих системе, причем .

Продифференцируем первое уравнение по переменной :

Из первого уравнения определяем , следовательно, из второго уравнения имеем

Подставляем в уравнение, полученное после дифференцирования, приходим к уравнению

– линейное дифференциальное уравнение II порядка с

постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение и находим его корни:

– действительные различные корни.

В этом случае общее решение дифференциального уравнения имеет вид

Ранее определили . Тогда

Общее решение системы

Находим значения произвольных постоянных, используя начальные условия :

Частное решение системы

8. Вычислить определённый интервал с точностью до 0,001 путём разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

Решение.

Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд по формуле

Тогда

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как четвёртый его член по абсолютной величине меньше 0,001, то для обеспечения заданной точности достаточно взять первые три члена ряда. Получаем:

9. Разложить заданную функцию в ряд Фурье по синусам на отрезке .

Решение. Так как по условию ряд должен содержать только синусы кратных углов, то следует продолжить заданную функцию на отрезок нечетным образом, затем продолжить на всю числовую ось с периодом . Теперь разложим полученную периодическую функцию в ряд Фурье (эта операция разложения называется гармоническим анализом) вида:

Так как заданная функция нечетная, то коэффициенты ряда Фурье , а вычисляем по формуле

и ряд Фурье имеет вид .

Подставляя заданную функцию, получаем

Последний интеграл вычисляем методом интегрирования по частям, полагая . Отсюда . следовательно,

Таким образом, искомое разложение имеет вид

или

10. Дана функция двух переменных . Найти:

1) экстремум функции ;

2) в точке А(1; –2);

3) наибольшую скорость возрастания точке А(1; –2).

Решение. 1) Для отыскания экстремума функции предварительно найдем частные производные первого и второго порядка:

Приравняем их к нулю и решим систему уравнений:

Решением системы является точка М(–4; 1). Точка М(–4; 1) называется подозрительной на экстремум. Найдем частные производные второго порядка в точке М:

Из них составим определитель второго порядка

Так как , то в точке М(–4; 1) есть экстремум. Производная , а, значит, это точка минимума функции.

2) Градиент функции найдем по формуле:

, и были найдены в пункте 1.

Градиент функции в точке А(1; –2):

3) Наибольшая скорость возрастания функции равна модулю градиента:

11.Вычислить массу неоднородной пластинки треугольной формы с вершинами в точках О (0;0) , А (5;0) , В (0;7) , поверхностная плотность которой в точке М (х;у) равна .

Решение.

Изобразим пластинку на плоскости xOy.

0 А х

Масса неоднородной пластинки выражается через двойной интеграл по формуле: .

В нашем случае область D - треугольник ОАВ, .

Запишем уравнение прямой АВ, используя уравнение прямой в отрезках:

, откуда получаем ; область D задаётся как решение системы неравенств

Вычислим массу m , переходя от двойного к повторному интегралу:

12. а) (Только для профиля ТСА.)Вычислить работу, совершаемую переменной силой по прямой, соединяющей точки М(1; 1) и N(2; 3) .

б) (Только для профилей ЭОЭТ и ЭОП.) Проверить, что векторное поле потенциально; найти потенциал поля и работу, совершаемую силой при переходе из точки М(1; 2) в точку N(3; 5).

Решение. а) Для того чтобы найти работу, совершаемую переменной силой , вычислим криволинейный интеграл

по прямой, соединяющей точки М(1; 1) и N(2; 3).

Запишем уравнение прямой, проходящей через две данные точки:

После преобразований получаем: , поэтому .

Перейдем от криволинейного интеграла к определенному, подставляя полученные нами выражения для y и dy и учитывая, что .

Тогда работа A примет вид

1 M

0 1 2 х

б) Векторное поле имеет вид . Поэтому

, . Найдем частные производные .

Производные совпадают, откуда следует, что поле потенциально.

Потенциал векторного поля находим по формуле

Для нашего случая

то есть потенциал данного поля равен

Проверим, правильно ли мы нашли потенциальную функцию. Для этого должны выполняться следующие условия:

В нашем случае:

по условию ,

по условию .

В потенциальных полях работа A силы равна разности потенциалов, то есть .

В нашем случае

13.Найти вероятность безотказной работы участка цепи, если известно, что каждый -ый элемент работает независимо от других с вероятностью ( = 1, 2, 3, 4, 5, 6). .

Решение. Участок цепи будет работать безотказно, если работают блоки 1–2 и 3–4–5–6 (последовательное соединение).

Рассмотрим блок 1–2. Элементы 1 и 2 соединены параллельно, следовательно, блок 1–2 будет работать, если хотя бы один из элементов 1, 2 исправен.

– надежность блока 1–2.

Рассмотрим блок 3–4–5–6. Блок 3–4–5–6 будет безотказно работать хотя бы в одном из случаев:

исправны элементы 3 и 4,

исправен элемент 5,

исправен элемент 6.

– вероятность безотказной работы блока 3–4.

–

надежность блока 3–4–5–6.

Следовательно,

– искомая надежность участка цепи.

14.Измерены диаметры для 90 деталей, обрабатываемых на некотором станке. Данные замеров приведены в табл. 1.

Таблица 1

70,88	67,04	69,20	66,24	64,80	71,52	67,52	68,96	67,36	68,64
67,12	66,96	69,04	66,00	66,00	64,88	65,84	67,52	65,68	70,00
70,80	66,32	67,40	66,08	69,76	68,01	65,76	69,20	65,60	66,72
67,44	67,72	68,72	64,00	66,32	68,21	70,96	67,76	66,88	69,12
65,84	64,88	69,46	68,48	65,04	70,00	70,16	68,72	67,04	69,36
66,48	68,20	64,72	70,40	67,76	69,28	71,20	67,90	66,80	70,24
69,15	67,68	69,36	67.46	65,48	66,98	71,40	68,15	68,88	65,26
64,71	68,36	67,13	66,18	68,19	67,05	68,90	68,72	69,21	68,14
66,99	64,44	68,05	69,40	70,01	68,76	67,70	70,00	71,32	70,46

Выполнить статистическую обработку результатов измерений по следующему плану.

1) Построить вариационный ряд.

2) Найти точечные оценки математического ожидания (генеральной средней ) и дисперсии случайной величины ( признака) .

3) Построить гистограмму относительных частот.

4) На том же чертеже построить кривую нормального распределения и провести анализ соответствия выборочных данных нормальному закону распределения случайной величины Х.

Решение.

1) Для того чтобы построить вариационный ряд, сначала находят , и размах вариационного ряда , затем определяют число интервалов по формуле с округлением до ближайшего целого числа. В нашем случае . Возьмём . Длина каждого интервала вычисляется по формуле . Число всегда округляют с избытком.

В рассматриваемом примере Положим .

Границы интервалов последовательно вычисляют по формулам .

Для каждого i-го интервала подсчитывают количество попавших в него данных . Если выборочное данное совпадает с границей двух соседних интервалов, то его следует отнести к интервалу с меньшим номером. Затем вычисляют относительные частоты . Таким образом, получаем вариационный ряд (см. таблицу 2).

Таблица 2.

№ интервала	интервалы	Частоты
	(64,00 ; 65,08) (65,08 ; 66,16) (66,16 ; 67,24) (67,24 ; 68,32) (68,32 ; 69,40) (69,40 ; 70,48) (70,48 ; 71,56)	8 11 14 20 17 16 4

2) В качестве оценки математического ожидания (генеральной средней) берётся среднее арифметическое выборочных данных .

За оценку дисперсии берётся исправленная выборочная дисперсия

, где .

Этими формулами пользуются в случае небольшого объёма выборки ( ). При выполнении расчётов при большом объёме выборки, то есть когда уже построен вариационный ряд вычисляется по формуле

, (1)

где - середина i-го интервала. Исправленная дисперсия вычисляется по формуле , где

. (2)

Вычисления по формулам (1) и (2), как правило, сложны, поэтому для упрощения расчётов переходят от величин к величинам по формуле

Величину выберем следующим образом:

, если – четное,

, если – нечетное.

При таком выборе формулы перехода величины будут принимать последовательные целые значения, близкие к нулю (см. таблицу 3).

Таблица 3.


64,540 65,620 66,700 67,780 68,860 69,940 71,020	-3 -2 -1	-24 -22 -14	0,08 0,11 0,15 0,20 0,18 0,17 0,04	0,04 0,10 0,18 0,22 0,19 0,12 0,05

В нашем случае С= =67,78, вычисляем ,

, ; затем по формулам

, ,

найдём

3) Гистограммой относительных частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы длиной , расположенные на оси Ох, а высоты равны .

Соединив середины верхних сторон прямоугольников плавной линией, получим аналог плотности распределения случайной величины (график эмпирической плотности распределения).

4) По виду кривой эмпирического распределения (« колоколообразная» кривая) можно предположить, что случайная величина распределена по нормальному закону. Для сравнения в той же системе координат построим кривую плотности нормального распределения:

, где

Мы использовали значения, полученные во втором пункте.

В случае нормального распределения величины вероятность того, что отклонение от окажется больше, чем величина , должна быть очень мала, близка к нулю. Это означает, что практически почти все значения выборочных данных должны попасть в интервал , в нашем случае - в интервал (62,53 ; 73,27).

Так как в рассматриваемом примере все выборочные значения попадают в указанный интервал, то есть основание считать, что случайная величина распределена по нормальному закону с плотностью вероятности . Для сравнения построим график этой функции, предварительно вычислив значения этой функции в точках (см. последний столбец таблицы 3). Найдём также максимум этой функции: 3.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Продолжение таблицы значений функции Ф(х)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Таблицы вариантов………………………………………………………………
Задания для контрольных работ. Контрольная работа №1…………………...
Контрольная работа №2…………………………………………………………
Решение типовых примеров. Контрольная работа №1….…………………….
Решение типовых примеров. Контрольная работа №2….…………………….
Приложения………………………………………………………………………

⇐ Предыдущая 1 2 34