Здавалка
Главная | Обратная связь

Автор-составитель: Погодин Д.В.,

Министерство образования Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

 

Казанский Государственный Технический Университет

Им. А.Н. Туполева

_____________________________________________________________

 

Кафедра радиоэлектроники и информационно-измерительной техники

 

задания и методические указания по расчету цепей гармонического тока

 

(методические указания для студентов-заочников)

 

 

Автор-составитель: Погодин Д.В.,

 

Казань - 2010 г.


4.1. Основные понятия и определения

Синусоидальными сигналами или воздействиями называются переменные напряжения и токи источников, которые аналитически можно записать с помощью синусоидальной функции в синусной или косинусной форме:

,

.

Рис. 4.1. Временная диаграмма синусоидального напряжения Рис. 4.2. Напряжение u1 опережает напряжение u2

Как правило, в теории электрических цепей синусоидальные функции напряжений и токов записывают в косинусной форме, поскольку косинус функция четная и с ней проще оперировать. В записанных выражениях Um и Imамплитудные значения напряжения и тока,  фаза колебаний,  угловая частота или скорость изменения фазы (измеряется в радианах в секунду), и  начальные фазы колебаний (измеряются, как правило, в пределах от до ).  циклическая частота, измеряется в герцах. Временная диаграмма (график) переменного синусоидального напряжения представлена на рис. 4.1.

При наличии двух или нескольких сигналов между ними может существовать сдвиг фаз . Если угол , то напряжение опережает на угол , как это показано на рис. 4.2.

Рис. 4.3. Напряжения совпадают по фазе Рис. 4.4. Напряжения находятся в противофазе Рис. 4.5. Напряжения находятся в квадратуре

Если угол , то два напряжения совпадают по фазе (рис. 4.3).

Если угол , то говорят, что напряжения находятся в противофазе (рис.4.4).

Если угол , то напряжения находятся в квадратуре (рис. 4.5).

В большинстве случаев оказывается неудобным пользоваться амплитудным, а тем более мгновенным значением тока или напряжения, поэтому наиболее часто используется действующее значение тока I, в основу определения которого положено тепловое действие тока.

Под действующим или среднеквадратичным значением переменного периодического тока I, (напряжения U или ЭДС E) понимают величину которая рассчитывается следующим образоом

Это соотношение характеризует среднее за период значение мощности, выделение теплоты в цепи с сопротивлением r

т.е. действующее значение переменного периодическго тока равно такому постоянному току, который, проходя через сопротивление r, за период Т выделяет то же количество тепла, что и данный переменный ток i.

Так при синусоидальном токе :

.

Среднее значение синусоидальной величины за период равно нулю, поэтому говорят о среднем значении за положительный полупериод:

Среднее значение тока меньше действующего.

4.2. Законы Кирхгофа и Ома в комплексной форме

Для синусоидальных сигналов законы Кирхгофа и Ома удобно записывать в комплексной форме.

При комплексном представлении гармоническое колебание как функция времени заменяется комплексной амплитудой, т.е. комплексным числом, не зависящим от времени. Это делается для упрощения записи и выполнения операций над гармоническими функциями.

Вспомним комплексные числа. Z – комплексное число. Его можно записать в одной из трех форм: алгебраической, показательной и тригонометрической.

Z = a + jb = ,

где a = Re [Z] = A cos j; b = Im[Z] = A sinj.

Re – реальная часть, Im – мнимая часть комплексного числа. На рис. 4.6 показано геометрическое представление комплексного числа на комплексной плоскости.

А – mod[Z] – модуль комплексного числа Z, или А = (а2+b2)1/2 – длины векторов комплексного числа.

φ = arg[Z] – аргумент комплексного числа Z, или φ = arctg(b/a) – начальная фаза.

Выражение Аmej(ωt+φ) называют комплексом гармонической функции. Тогда, учитывая, что Аcosφ = Re{Aejφ}, можно записать

.

Комплексную величину называют комплексной амплитудой гармонического сигнала, а еjωt – множителем вращения. Комплексная амплитуда содержит информацию о двух важнейших параметрах гармонического сигнала – об амплитуде и начальной фазе. Комплексная амплитуда и гармоническая функция времени при известной частоте ω связаны взаимнооднозначно, т.е.

.

Пример 1. Например, гармоническому колебанию u(t) = 256 cos(2π100t – 45°) соответствует комплексная амплитуда m = 256 ej45.

Справедливо и обратное. Если известна комплексная амплитуда гармонического сигнала m = 256 ej45 и частота ω=2π100, то этому соответствует гармоническое колебание u(t) = 256 cos(2π100t – 45°).

Геометрически комплексная амплитуда представляет собой вектор, характеризуемый модулем и фазой, равными, соответственно, амплитуде и начальной фазе гармонической функции, как это показано на рис. 4.7,

Рис. 4.7. Комплексная амплитуда напряжения

 оператор вращения, представляющий собой единичный вектор, умножение на который комплексной амплитуды напряжения означает вращение вектора комплексной амплитуды против часовой стрелки с угловой частотой .

Законы токов и напряжений Кирхгофа можно записать как для мгновенных значений токов и напряжений, так и для комплексных амплитуд этих токов и напряжений:

,  закон токов Кирхгофа в комплексной форме для комплексных амплитуд и действующих значений в комплексной форме,

,  закон напряжений Кирхгофа в комплексной форме.

Пример 2. Рассмотрим пример использования законов Кирхгофа в комплексной форме. Пусть имеется узел в цепи, к которому подключены четыре ветви, как это показано на рис. 4.8.

Рис. 4.8. Узел цепи

В первых трех ветвях ток направлен к узлу, а в четвертой он направлен от узла. Все токи синусоидальные и параметры трех из них известны:

; ;

Требуется определить четвертый ток.

Для решения этой задачи необходимо все токи перевести в комплексную форму, т. е. нужно записать их комплексные амплитуды:

, , .

Затем необходимо воспользоваться законом токов Кирхгофа в комплексной форме для комплексных амплитуд токов:

.

И, наконец, по найденной комплексной амплитуде четвертого тока можно записать его временную функцию:

.

Эту задачу можно решить графически с помощью векторной диаграммы, которая представляет собой картину расположения векторов токов и напряжений на комплексной плоскости. Для этого, как показано на рис. 4.9, на комплексной плоскости нужно отложить три вектора комплексных амплитуды известных токов, а вектор комплексной амплитуды можно построить путем суммирования векторов комплексных амплитуд известных токов на основе закона токов Кирхгофа.

Рис. 4.9. Векторная диаграмма

Пример 3. Известны мгновенные значения напряжений на элемен-тах контура ( рис.3.4,а) u1= 10 Sin( 100t-45o) B, u2= 25 Sin( 100t+30o)B, u3= 5 Sin( 100t+60o)B. Требуется определить мгновенное значение ЭДС источника напряжения.

 

Решение. На основании второго закона Кирхгофа для мгновен ных значений напряжений и ЭДС находим e= u1+ u2+ u3.

Переходя к комплексам, получим , где

.

Следовательно,

=

10Cos45o-j10Sin45o+25Cos30o+j25Sin30o +5Cos60o + j5Sin60o =

=30.75+j9.75= = 32.3ej18в.

Построив вектора напряжений на комплексной плоскости (рис.3.4,б ) убеждаемся, что сумма их действительно равна вектору ЭДС. Переходя от комплекса к мгновенному значению, получим e= 32.3 Sin( 100t+18o), В.

 

Комплексное сопротивление и комплексная проводимость

Закон Ома в комплексной форме связывает комплексы напряжения и тока:

, ,

.

 комплексное сопротивление двухполюсника. Комплексное сопротивление представляет собой комплексное число или вектор, который можно отложить на комплексной плоскости (рис.4.14).

Рис. 4.14. Комплексное сопротивление двухполюсника

- комплексная проводимость, величина, обратная комплексному сопротивлению:

Комплексные сопротивления и проводимости элементов складываются по тем же правилам, что и сопротивления и проводимости R-элементов. Например, в цепи рис. 4.15 комплексные сопротивления элементов в последовательном контуре суммируются, а напряжение источника, согласно закону Ома в комплексной форме, связано с током в контуре следующим выражением:

.

Рис. 4.15. Цепь с последовательным соединением элементов

Ток в контуре, соответственно, можно определить:

, где  общее или входное сопротивление контура.

Пример 4. Через зажимы двухполюсника с комплексным сопротивлением Z=40ej30 Ом протекает синусоидальный ток  =3 Sin (314 t + 15o) A. Определить напряжение u(t) на зажимах двухполюсника.

Решение. Находя комплексную амплитуду тока =3е j15 и зная комплексное сопротивление двухполюсника, на основании закона Ома в комплексной форме определяем комплексную амплитуду напряжения

=3е j15 40ej30=120 е j45 В.

Следовательно, мгновенное напряжение равно u=120 Sin (314 t + 45o), B.

 

4.5. Метод комплексных амплитуд (символический метод)

Метод применяется для определения вынужденных составляющих реакций при воздействии синусоидальных или обобщенных сигналов. Метод можно применять только в том случае, если собственные частоты цепи не совпадает с частотой входного сигнала.

 

4.9. Методы анализа (расчета) линейных цепей
при гармоническом воздействии

в общем случае расчет (анализ) электрических цепей сводится к отысканию токов во всех ветвях схемы. При гармоническом воздействии в основу всех методов расчета линейных цепей положен метод комплексных амплитуд (МКА). Возможность применения МКА основана на том, что в линейных цепях новых гармонических составляющих не возникает, а потому расчет цепей сводится к расчету амплитуд и начальных фаз токов или напряжений на интересующих нас участках цепи, в то время как частота в любой точке цепи равна частоте входного сигнала.

Метод комплексных амплитуд состоит в следующем:

1) исходная схема электрической цепи заменяется комплексной схемой замещения, в которой:

а) все пассивные элементы заменяются их комплексными сопротивлениями, как показано на рис. 4.27.

б) все токи и напряжения в схеме заменяются их комплексными амплитудами, т.е. х(t) = Xm cos(w0t – jx) ® Xm = Xm ejjx.

ZL=jwL
L
ZC=1/(jwC)
C
ZR=R
R

Рис. 4.27

2) Расчет электрической цепи сводится к составлению уравнений состояния цепи на основе законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме и нахождению комплексных амплитуд токов или напряжений на интересующих нас участках цепи, т.е. Ym = Ym ejjy.

3) Запись окончательного решения состоит в замене рассчитанных комплексных амплитуд на гармонические функции времени, т.е.

Ym =Ym e –jjy ® y(t) = Ym cos(w0t – jy).

 

Пример 5. Алгоритм метода рассмотрим на примере анализа цепи, структура которой приведена на рис. 4.29.

Рис. 4.29. RLC-цепь второго порядка

На вход цепи подается синусоидальное воздействие . Параметры воздействия и элементов цепи известны: Um=1 В, ω =1 с-1 , φ u=900 , R=1 Ом, L=1 Гн, C=1 Ф. Требуется определить токи и напряжения ветвей, построить векторную диаграмму.

Решение.

1. Представим воздействие в комплексной форме:

.

2. Построим схему замещения цепи в частотной области, заменив элементы цепи комплексными двухполюсниками, как это показано на рис. 4.30.

Рис. 4.30. Схема замещения цепи в частотной области

3. Произведем расчет реакций (токов и напряжений) в комплексной области. При этом можно воспользоваться законами Кирхгофа и Ома в комплексной форме, а также известными методами расчета резистивных цепей:

, , ,

,

, ,

,

, .

3. Построим векторную диаграмму для токов и напряжений в цепи. Для этого на комплексной плоскости откладываются в соответствующем масштабе найденные токи и напряжения, как показано на рис. 4.31.

Рис. 4.31. Векторная диаграмма

Построение векторной диаграммы, как правило, является конечным результатом решения подобных задач. Векторная диаграмма показывает амплитуду и начальную фазу любого тока или напряжения. При необходимости записать временную функцию тока или напряжения, это всегда можно сделать, имея векторную диаграмму. Например, напряжение на L-элементе имеет амплитуду , а начальную фазу 1350, значит, во временной области это напряжение можно записать так:

.

Пример 6.1.Рассчитать мгновенное значение тока в контуре (рис. 6.1), если включен источник гармонического напряжения e(t) = Ecos(ωt+φ0).

Решение. Комплексная амплитуда ЭДС E(jω) = Eejφo.

Комплексное сопротивление контура Z(jω) = R + jωL.

Комплексная амплитуда тока в контуре по закону Ома равна I(jω) = E(jω)/(R + jωL). В показательной форме это выражение принимает вид:

где ,

Пропуская промежуточную запись (6.2), запишем мгновенное значение тока по формуле 6.3

(6.4)

Дом. задание.Требуется определить токи всех ветвей и построить векторную диаграмму.

Вариант № 6–1. Дано: u(t) = Ucos(ωt + φ ), U = 1 В, ω0 = 104 рад/с,

φ = π/4. R1 = R2 = R3 = 100 Ом, C1 = 2 мкФ.

 

 

Вариант № 6–2.

Дано: u(t) = Ucos(ωt + φ ), U = 1 В, ω0= 104 рад/с,

φ0 = π/3. R1 = R2 = R3 = 100 Ом, L1 = 5 мГн.

Вариант № 6–3.

Дано: u(t) = Ucos(ωt + φ ), U = 1 В, ω0 = 104 рад/с,

φ0 = π/4, R1 = R2 = R3 = 10 Ом, L1 = 1 мГн.

 

Вариант № 6–4. Дано: u(t) = Ucos(ωt + φ ), U = 1 В, ω0 = 104 рад/с,φ0 = π/3, R1 = R2 = R3 =10 Ом, C1 = 10 мкФ.

 

Вариант № 6–5.

Дано: u(t)=Ucos(ωt + φ ), U=1 В, ω0 =104 рад/с,

φ0 = π/4. R1 = 100 Ом, R2 = R3 = 10 Ом, C1 = 2 мкФ.

Вариант № 6–6.

Дано: u(t) = Ucos(ωt + φ ), U = 1 В, ω0 = 104 рад/с,

φ0 = π/3. R1 = 100 Ом, R2 = R3 = 10 Ом, L1 = 10 мГн.

 

 

Вариант № 67.

Дано: u(t) = Ucos(ωt + φ ), U = 1 В, ω0 = 10 рад/с,

φ0 = π/4. R1 = 100 Ом, R2 = 10 Ом, C1 = 10 мкФ.,

L1 = 10 мкФ.

 

Вариант № 6–8.

Дано: u(t) = Ucos(ωt + φ ), U = 1 В, ω0 = 10 рад/с, φ0 = π/3.

R2 = 10 Ом, R1 = 100 Ом, L1 = 10 мГн., L2 = 5 мГн.

Вариант № 6–9.

Дано: u(t) = Ucos(ωt + φ ), U = 1 В, ω0 = 10 рад/с, φ0 = π/4.

R1 = 100 Ом, R2 = 10 Ом, C2 = 2 мкФ., C1 = 1 мкФ.

. Вариант № 610.

Дано: u(t) = Ucos(ωt + φ ), U = 1 В, ω0 = 10 рад/с,

φ0 = π/4. R1 = R2 = R3 = 100 Ом, C1 = C2 = 1 мкФ.

Вариант № 6–11.

Дано: u(t) = Ucos(ωt + φ ), U = 1 В, ω0 = 10 рад/с,

φ0 = π/4. R1 = 1 кОм, R2 = R3 = 10 Ом, C1 = 0.01 мкФ,

L1 = 0.5 мГн.

Вариант № 612.

Дано: u(t) = Ucos(ωt + φ ), U = 1 В, ω0 = 104 рад/с,

φ0 = π/4. R1 = R2 = 10 кОм, C1 = 0.01 мкФ., L1 = 1 мГн.

 

 

Вариант № 613.

Дано: u(t) = Ucos(ωt + φ ), U = 1 В, ω0 = 104 рад/с, φ0 = π/3.

R1 = 50 Ом, C1 = 0.01 мкФ., C2 = 0.02 мкФ., L1 = 10 мГн.

 

Вариант № 6–14.

Дано: u(t) = Ucos(ωt + φ ), U = 1 В, ω0 = 10 рад/с,

φ0 = π/4. C1 = 1 мкФ., C2 = 5 мкФ., L2 = 2 мГн., L1 = 10 мГн.

Вариант № 6–15.

Дано: u(t) = Ucos(ωt + φ ), U = 1 В, ω0 = 10 рад/с, φ0 = π/4. R1 = 10 Ом, L1 = 4 мГн., L2 = 2 мГн, L3 = 1 мГн.

Вариант № 6–16.

Дано: u(t) = Ucos(ωt + φ ), U = 1 В, ω0 = 105 рад/с,

φ0 = π/2. R1 = 10 Ом, C1 = 0.01 мкФ., L1 = 0.05 мГн,

L2 = 0.1 мГн.

Вариант № 6–17.

Дано: u(t) = Ucos(ωt + φ ), U = 1 В, ω0 = 104 рад/с, φ0 = π/4.

R1 = 10 Ом, C2 = 0.5 мкФ.,C1 = 0.2 мкФ., L1 = 0.01 мГн.

 

Вариант № 6–18.

Дано: u(t) = Ucos(ωt + φ ), U = 1 В, ω0 = 10 рад/с, φ0 = π/4. R1 = 10 Ом, C1 = C2 = 1 мкФ., C3 = 5 мкФ.

Вариант № 6–19.

Дано: u(t) = Ucos(ωt + φ ),U = 1 В, ω0 = 104 рад/с, φ0 = π/3.

R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом, C1 = 0.01 мкФ.,L1 = 0.1 мГн.

Вариант № 620.

Дано: u(t) = Ucos(ωt + φ ),U = 1 В, ω0 = 10 рад/с, φ0 = π/4. R1 = 10 Ом, R2 = 10 кОм, L1 = 0.5 мГн.,C1 = 0.01 мкФ.

Вариант № 6–21.

Дано: u(t)=Ucos(ωt + φ ), U=1 В, ω0 =105 рад/с, φ0 = π/2. R1=R2=100 Ом, L2=20 мГн.,L1=5 мГн

Вариант № 6–22.

Дано: u(t) = Ucos(ωt + φ ), U = 1 В, ω0 = 10 рад/с, φ0 = π/3.

R1 = 10 Ом, R2 = 10 кОм, C1 = 0.2 мкФ., L1 = 0.02 мГн.

Вариант № 6–23.

Дано: u(t)=Ucos(ωt + φ ), U = 1 В, ω0 = 10 рад/с, φ0 = π/4.

R1 = R2 = 100 Ом, C1 = 5 мкФ., C2 = 1 мкФ.

Вариант № 6–24.

Дано: u(t) = Ucos(ωt + φ ), U = 1 В, ω0 = 10 рад/с, φ0 = π/3. R1 = 10 кОм, R2 = 10 Ом, C1 = 0.01 мкФ., L1 = 0.2 мГн.

 

Вариант № 6–25Дано: u(t) = Ucos(ωt + φ ), U = 1 В, ω0 = 10 рад/с,

φ0 = π/4. R1 = R2 =10 кОм, R3 = 100 Ом, C1 = 0.02 мкФ, L1 = 0.5 мГн.

 

Вариант № 626.

Дано: u(t) = Ucos(ωt + φ ), U = 1 В, ω0 = 10 рад/с, φ0 = π/4.

R1 = 10 Ом, R2 = 100 кОм, С1 = 1000 пФ, L1 = 0.1 мГн.

 

Вариант № 6–27.

Дано: u(t) = Ucos(ωt + φ ), U = 1 В, ω0 = 10 рад/с, φ0 = π/4.

R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом, С1 = 1000 пФ, L1 = 0.1 мГн.

Вариант № 6–28.

Дано: u(t) = Ucos(ωt + φ ), U = 1 В, ω0 = 10 рад/с, φ0 = π/4.

R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом, С1 = 1000 пФ, L1 = 0.1 мГн.

Вариант № 6–29.

Дано: u(t)=Ucos(ωt+φ ), U=1 В, ω0 =10 рад/с, φ0 = π/4.

R1=10 Ом, R2=10 кОм, С1=500 пФ, L1=0.01 мГн.

Вариант № 6–30.

Дано: u(t) = Ucos(ωt + φ ), U = 1 В, ω0 = 104 рад/с, φ0 = π/4.

R1=10 Ом, R2=20 Ом, С1=1000 пФ, L1=0.1 мГн

 

 





©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.