ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧСтр 1 из 2Следующая ⇒
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ Электромагнетизм
Связь магнитной индукции B с напряженностью H магнитного поля: где m - магнитная проницаемость изотропной среды; m0 - магнитная постоянная. В вакуумеm = 1, и тогда магнитная индукция в вакууме Закон Био-Савара-Лапласа: или
где - магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника длиной dl с током I; - радиус-вектор, направленный от элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция;a - угол между радиусом-вектором и направлением тока в элементе проводника. Магнитная индукция в центре кругового тока: где R - радиус кругового витка. Магнитная индукция на оси кругового тока: где h - расстояние от центра витка до точки, в которой определяется магнитная индукция. Магнитная индукция поля прямого тока где ro - расстояние от оси проводника до точки, в которой определяется магнитная индукция. Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком провода с током (рис.I,a): Обозначения ясны из рисунка. Направление вектора магнитной индукции обозначено точкой - это значит, что направлен перпендикулярно плоскости чертежа к нам. При симметричном расположении концов провода относительно точки, в которой определяется магнитная индукция (рис.I,б): -cosa2 = cosa1=cosa, тогда
Рис.1 Магнитная индукция поля соленоида где n - отношение числа витков соленоида к его длине. Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле (закон Ампера): где l - длина проводника; a - угол между направлением тока в проводнике и вектором магнитной индукции . Это выражение справедливо для однородного магнитного поля и прямого отрезка проводника. Если поле неоднородно и проводник не является прямым, то закон Ампера можно применить к каждому элементу проводника в отдельности: Магнитный момент плоского контура с током: где - единичный вектор нормали (положительный) к плоскости контура;I - сила тока, протекающего по контуру;S - площадь контура. Механический (вращательный) момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле: , или где a - угол между векторами и . Потенциальная энергия (механическая) контура с током в магнитном поле: ,или Отношение магнитного момента к механическому (моменту импульса) заряженной частицы, движущейся по круговой орбите: где Q - заряд частицы; m - масса частицы. Сила Лоренца: , или где - скорость заряженной частицы; a - угол между векторами и . Магнитный поток: а) в случае однородного магнитного поля и плоской поверхности или где S - площадь контура; a - угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции; б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности (интегрирование ведется по всей поверхности). Потокосцепление (полный поток): Эта формула верна для соленоида и тороида с равномерной намоткой плотно прилегающих друг к другу N витков. Работа по перемещению контура в магнитном поле: Э.д.с. индукции: Разность потенциалов на концах проводника, движущегося со скоростью в магнитном поле: где l - длина проводника; a - угол между векторами и . Заряд, протекающий по замкнутому контуру при изменении магнитного потока, пронизывающего этот контур: или где R - сопротивление контура. Индуктивность контура: Э.д.с. самоиндукции: Индуктивность соленоида: где n - отношение числа витков соленоида к его длине; V - объем соленоида. Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлениемR и индуктивностью L: а) (при замыкании цепи), гдеE- э.д.с. источника тока; t- время, прошедшее после замыкания цепи; б) (при размыкании цепи), гдеIo - сила тока в цепи при t = 0;t - время, прошедшее с момента размыкания цепи. Энергия магнитного поля: Объемная плотность энергии магнитного поля (отношение энергии магнитного поля соленоида к его объему): , или , или где B- магнитная индукция; H - напряженность магнитного поля. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1.Два параллельных бесконечно длинных провода D и С, по которым текут в одном направлении электрические токи силой I=60A, расположены на расстоянии d=10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого проводниками с током в точке А (рис.1), отстоящей от оси одного проводника на расстоянии r1=5 cм, от другого - r2=12 cм. Рис.1 Решение: Для нахождения магнитной индукции В в точке А воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого определим направления магнитных индукций В1 и В2 полей, создаваемых каждым проводником с током в отдельности, и сложим их векторно: Модуль вектора может быть найден по теореме косинусов: (1) где a - угол между векторами и . Магнитные индукции и выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r1 и r2 от проводов до точки А: ; Подставляя выражения В1 и В2 в формулу (1) и вынося за знак корня, получаем (2) Вычислим cos a. Заметив, что a=ÐDCA (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами), по теореме косинусов запишем где d - расстояние между проводами. Отсюда ; Подставим в формулу (2) числовые значения физических величин и произведем вычисления: Пример 2.По тонкому проводящему кольцу радиусом R=10 см течет ток I=80 А. Найти магнитную индукцию в точке А, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r=20 см. Решение: Для решения задачи воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа: где - магнитная индукция поля, создаваемого элементом тока в точке, определяемой радиусом-вектором r. Выделим на кольце элемент и от него в точку А проведем радиус-вектор (рис.2). Вектор направим в соответствии с правилом буравчика. Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукция в точке А определяется интегрированием: где интегрирование ведется по всем элементам dl кольца. Разложим вектор на две составляющие: , перпендикулярную плоскости кольца, и , параллельную плоскости кольца, т.е. Рис.2. Тогда Заметив, что из соображений симметрии и что векторы от различных элементов сонаправлены, заменим векторное суммирование (интегрирование) скалярным: где и (поскольку перпендикулярен и, следовательно, sin a=1). Таким образом, После сокращения на 2p и замены cos b на R/r (рис.2) получим или , где h – расстояние от плоскости кольца до точки А. Проверим, дает ли правая часть равенства единицу магнитной индукции (Тл):
Здесь мы воспользовались определяющей формулой для магнитной индукции: Тогда
Выразим все величины в единицах СИ и произведем вычисления: или В=62,8 мкТл. Вектор направлен по оси кольца (пунктирная стрелка на рис) в соответствии с правилом буравчика.
Пример 3. Длинный провод с током I=50 A изогнут под углом a=2p/3. Определить магнитную индукцию В в точке А (рис.3). Расстояние d=5 см. Решение: Изогнутый провод можно рассматривать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О (рис.4). В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей маг- Рис.3. нитная индукция В в точке А будет равна векторной сумме магнитных индукций и полей, создаваемых отрезками длинных проводов 1 и 2, т.е. . Магнитная индукция В2 равна нулю. Это следует из закона Био-Савара-Лапласа, согласно которому в точках, лежащих на оси привода, dB = 0 ([ ] = 0). Магнитную индукцию В1 найдем, воспользовавшись соотношением (3), найденным в примере 1:
где r0 - кратчайшее расстояние от провода 1 до точки А (рис.4). В нашем случае a1®0 (провод длинный), a2 = a = 2p/3 (сos a2 = =cos (2p/3) = -1/2). Расстояние r0 = d sin (p-a) = d sin (p/3) = d . Тогда магнитная индукция
Рис.4.
Так как B = B1 (B2 = 0), то Вектор сонаправлен с вектором и определяется правилом правого винта. На рис.4 это направление отмечено крестиком в кружочке (перпендикулярно плоскости чертежа, от нас). Проверка размерности аналогична выполненной в примере 2. Произведем вычисления:
Пример 4.Два бесконечно длинных провода скрещены под прямым углом (рис.5). По проводам текут токи I1 = 80 A и I2 =60 A. Расстояние d между проводами равно 10 см. Определить магнитную индукцию в точке А, одинаково удаленной от обоих проводов. Решение. В соответствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная индукция поля, создаваемого токами I1 и I2, определяется выражением , где - магнитная индукция поля, созданного в точке А током I1 ; - магнитная индукция поля, созданного в точке А током I2. Рис.5. Заметим, что векторы и взаимно перпендикулярны (их направления находятся по правилу буравчика и изображены в двух проекциях на рис.6). Тогда модуль вектора можно определить по теореме Пифагора: где В1 и В2 определяются по формулам расчета магнитной индукции для бесконечно длинного прямолинейного провода с током: и В нашем случае r0 = d/2. Тогда Проверка размерности аналогична выполненной в примере2. Произведем вычисления: Рис.6 Пример 5.Бесконечно длинный провод изогнут так, как это изображено на рис. 7. Радиус R дуги окружности равен 10 см. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого в точке О током I = 80 A, текущим по этому проводу. Решение. Магнитную индукцию в точке О найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей: . В нашем случае провод можно разбить на три части (рис.8): два прямолинейных провода (1 и 3), одним концом уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиуса R. Тогда где - магнитные индукции в точке О, создаваемые током, текущим соответственно на первом, втором и третьем участках провода. Так как точка О лежит на оси провода 1, то В1 = 0 и тогда
Рис.7. Рис.8.
Учитывая, что векторы и направлены в соответствии с правилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, то векторное суммирование можно заменить алгебраическим: В = В2 + В3 Магнитную индукцию В2 найдем, воспользовавшись выражением для магнитной индукции в центре кругового тока: В нашем случае магнитное поле в точке О создается лишь половиной такого кругового тока, поэтому Магнитную индукцию найдем по формуле: В нашем случае r0 = R, a1=p/a (cos a1 = 0), a2®p (cos a2 = -1). Тогда
Используя найденные выражения для В2 и В3 , получим или Проверка размерности аналогична выполненной в примере 2. Произведем вычисления: , или
Пример 6.Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U = 600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить радиус R окружности. Решение. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле будет происходить по окружности только в том случае, когда частица влетит в магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции . Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору , то она сообщит частице (протону) нормальное ускорение аn. Согласно второму закону Ньютона, (1) где m - масса протона. На рис. 9 совмещена траектория протона с плоскостью чертежа и дано (произвольно) направление вектора . Силу Лоренца направим перпендикулярно вектору к центру окружности (векторы и сонаправлены). Используя правило левой руки, определим направление линий индукции (направление вектора ).
Рис.9.
Перепишем выражение (1) в скалярной форме (в проекции на радиус): (2) В скалярной форме FЛ = QvBsin a. В нашем случае ^ и sin a=1, тогда FЛ = QvB. Так как нормальное ускорение an = v2/R, то выражение (2) перепишем следующим образом: Отсюда находим радиус окружности: Заметив, что mv есть импульс протона (p), это выражение можно записать в виде (3) Импульс протона найдем, воспользовавшись связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии протона, т.е. А = DТ, или где j1 - j2 - ускоряющая разность потенциалов (или ускоряющее напряжение U); Т1 и Т2 - начальная и конечная кинетические энергии протона. Пренебрегая начальной кинетической энергией протона (Т1»0) и выразив кинетическую энергию Т2 через импульс p, получим Найдем из этого выражения импульс и подставим его формулу (3): , или (4) Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу длины (м): . Подставим в формулу (4) числовые значения физических величин и произведем вычисления: Пример 7.Электрон, влетев в однородное магнитное поле (В = 0,2 Тл), стал двигаться по окружности радиуса R = 5 cм. Определить магнитный момент pm эквивалентного кругового тока. Решение. Электрон начинает двигаться по окружности, если он влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. На рис.10 линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости чертежа и направлены “от нас” (обозначены крестиками). Рис.10. Движение электрона по окружности эквивалентно круговому току, который в данном случае определяется выражением где е - заряд электрона; Т - период его обращения. Период обращения можно выразить через скорость электрона v и путь, проходимый электроном за период T = v/(2pR). Тогда (1) Зная Iэкв, найдем магнитный момент эквивалентного кругового тока. По определению, магнитный момент контура с током выражается соотношением (2) где S - площадь, ограниченная окружностью, описываемой электроном (S = pR2). Подставив Iэкв из (1) в выражение (2), получим Сократим на pR и перепишем это выражение в виде: (3) В полученном выражении известной является скорость электрона, которая связана с радиусом R окружности, по которой он движется, соотношением R = mv/(QB) (см. пример 6). Заменив Q на |е|, найдем интересующую нас скорость v = |e|BR/m и подставим ее в формулу (3): Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу измерения магнитного момента (А×м2):
Произведем вычисления:
Пример 8. Электрон движется в однородном магнитном поле (В = 10 мТл) по винтовой линии, радиус R которой равен 1 см и шаг h = 6 см. Определить период T обращения электрона и его скорость v. Решение. Электрон будет двигаться по винтовой линии, если он влетает в однородное магнитное поле под некоторым углом (a ¹ p/2)к линиям магнитной индукции. Разложим, как это показано на рис.11, скорость v электрона на две составляющие: параллельную вектору, v||, и перпендикулярную ему, v^. Скорость v|| в магнитном поле не изменяется и обеспечивает перемещение электрона вдоль силовой линии. Скорость v^ в результате действия силы Лоренца будет изменяться только по направлению ( ^ ) (в отсутствие параллельной составляющей, v|| = 0, движение электрона происходило бы по окружности в плоскости, перпендикулярной линиям индукции). Таким образом, электрон будет участвовать одновременно в двух движениях: равномерном перемещении со скоростью v|| и равномерном движении по окружности со скоростью v^ .
Рис.11. Период обращения электрона связан с перпендикулярной составляющей скорости соотношением:
(1) Найдем отношение R/v^ . Для этого воспользуемся тем, что сила Лоренца сообщает электрону нормальное ускорение an = v^2 /R. Согласно второму закону Ньютона можно написать , или (2) где v^ = v sin a. Сократив (2) на v^, выразим соотношение R/v^ (R/v^ = m/|e|B)и подставим его в формулу (1): Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу времени (с): Произведем вычисления: Модуль скорости v, как это видно из рис.11, можно выразить через v^ и v|| : Из формулы (2) выразим перпендикулярную составляющую скорости:
Параллельную составляющую скорости v|| найдем из следующих соображений. За время, равное периоду обращения T, электрон пройдет в направлении магнитного поля расстояние, равное шагу винтовой линии, т.е. h = Tv|| , откуда v|| = h/T Подставив вместо Т правую часть выражения (2), получим Таким образом, модуль скорости электрона Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу скорости (м/с). Для этого заметим, что R и h имеют одинаковую единицу измерения - метр (м). Поэтому в квадратных скобках мы поставим только одну из величин (например, R):
Произведем вычисления: или 24,6 Мм/с.
Пример 9.Короткая катушка, содержащая N = 103 витков, равномерно вращается с частотой n = 10 c-1 относительно оси АВ, лежащей в плоскости катушки и перпендикулярной линиям однородного магнитного поля (В = 0,04 Тл). Определить мгновенное значение ЭДС индукции для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол a= 60° с линиями поля. Площадь S катушки равна 100 см2. Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции ei определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла: (1) Потокосцепление Y = NФ, где N - число витков катушки, пронизываемых магнитным потоком Ф. Подставив выражение Y в формулу (1), получим (2)
Рис.12 При вращении катушки магнитный поток Ф, пронизывающий катушку в момент времени t, изменяется по закону Ф = BScos wt, где B - магнитная индукция; S - площадь катушки; w - угловая скорость катушки. Подставив в формулу (2) выражение магнитного потока Ф и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции: Заметив, что угловая скорость w cвязана с частотой вращения n катушки соотношением w = 2pn и что угол wt = p/2 - a (рис.11), получим (учтено, что sin (p/2-a) = cos a) Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу ЭДС (В):
Произведем вычисления: Пример 10.Квадратная проволочная рамка со стороной а = 5 см и сопротивлением R = 10 мОм находится в однородном магнитном поле (В = 40 мТл). Нормаль к плоскости рамки составляет угол a = 30° с линиями магнитной индукции. Определить заряд Q, который пройдет по рамке, если магнитное поле выключить. Решение. При выключении магнитного поля произойдет изменение магнитного потока. Вследствие этого в рамке возникнет ЭДС индукции, определяемая основным законом электромагнитной индукции
Возникшая ЭДС индукции вызовет в рамке индукционный ток, мгновенное значение которого можно определить воспользовавшись законом Ома для полной цепи Ii = ei/R, где R - сопротивление рамки. Тогда Так как мгновенное значение силы индукционного тока , то выражение можно переписать в виде , откуда (1) Проинтегрировав выражение (1), найдем , или Заметим, что при выключенном поле (конечное состояние) Ф2 = 0, последнее равенство перепишется в виде (2) Найдем магнитный поток Ф1. По определению магнитного потока имеем Ф1 = ВScos a где S - площадь рамки. В нашем случае (рамка квадратная) S = a2. Тогда Ф1 = Ва2сos a(3) Подставив (3) в (2), получим Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу заряда (Кл): Произведем вычисления:
Пример 11.Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток I = 100 A, свободно установился в однородном магнитном поле (В = 1 Тл). Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1) j=90°; j=3°. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной. Решение. Как известно, на контур с током в магнитном поле действует момент силы (рис.10). М = pmBsin j (1) где pm = IS = Ia2 - магнитный момент контура; B - магнитная индукция; j - угол между векторами (направлен по нормали к контуру) и . По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитное поле. При этом момент силы равен нулю (М = 0), а значит, j = 0, т.е. векторы и сонаправлены. Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил (рис.11) будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла поворота j), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме dA = Мdj.Учитывая формулу (1), получаем Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол: (2) Работа при повороте на угол j1 = 90° (3) Выразим числовые значения величин в единицах СИ (I = 100 A, B = 1Tl, a = 10 см = 0,1 м) и подставим в (3): A1 = 100×1× (0,1)2 Дж = 1 Дж Работа при повороте на угол j2 = 3°. В этом случае, учитывая, что угол j2 мал, заменим в выражении (2) sin j»j: (4) Выразим угол j2 в радианах. После подстановки числовых значений величин в (4) найдем Задачу можно решить и другими способами: 1. Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, пронизывающего контур: А = -IDФ = I(Ф1 - Ф2) где Ф1 - магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения; Ф2 - то же, после перемещения. Если j = 90°, то Ф1 = BS, Ф2 = 0. Следовательно, А = IBS = IBa2 что совпадает с (3). 2. Воспользуемся выражением для механической потенциальной энергии контура с током в магнитном поле П (j) = -pmBcosj Тогда работа внешних сил А = DP = P2 - P1 или А = pmB(cosj1 - cosj2) Так как pm = Ia2, cos j1 = I и cos j2 = 0, то А = Iba2 что также совпадает с (3).
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|