Главная | Обратная связь

Определение возрастающей функции.

Достаточное условие экстремума

 

1) Первое достаточное условие:

 

Если:

 

а) f(x) непрерывная функция и определена в некоторой окрестности точки такой, что первая производная в данной точке равна нулю или не существует.

 

б) f(x) имеет конечную производную в окрестности задания и непрерывности функции

 

в) производная сохраняет определенный знак справа от точки и слева от этой же точки, тогда точку можно охарактеризовать следующим образом

 

Это условие не очень удобное, так как нужно проверять множество условий и запоминать таблицу, однако если ничего не сказано о производных высших порядках, то это единственный способ найти экстремум функции.

 

2) Второе достаточное условие

 

Если функция g(x) обладает второй производной причем в некоторой точке первая производная равна нулю, а вторая производная отлично от нуля. Тогда точка экстремум функции g(x), причем если , то точка является максимумом; если , то точка является минимумом.

 

3) Третье достаточное условие

 

Пусть функция g(x) имеет в некоторой окрестности точки N производных, причем значение первых (N - 1)- ой и самой функции в этой точке равно нулю, а значение N-ой производной отлично от нуля. В таком случае:

 

а) Если N - четно, то точка экстремум функции: у функции точка максимума, у функции точка минимума.

 

б) Если N - нечетно, то в точке у функции g(x) экстремума нет.

 

Определение возрастающей функции.

 

Функция y = f(x) возрастает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

 

Определение убывающей функции.

 

Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Точку называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают .

 

Точку называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают .

 

Под окрестностью точки понимают интервал , где - достаточно малое положительное число.

 

Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.