Здавалка
Главная | Обратная связь

Составить систему уравнений, применяя законы Кирхгофа для определения токов во всех ветвях.



Числовые параметры схем электрических цепей постоянного тока

 

№ва­рианта Е1 В Е2 В R1 Ом R2 Ом R3 Ом R4 Ом R5 Ом R6 Ом r01 Ом r02 Ом

Примечание. Номер схемы соответствует порядковому номеру, под которым фамилия учащегося записана в журнале учебных занятий группы.

Числовые параметры схемы соответствуют последней цифре ее порядкового номера.

 

Методика расчета линейных электрических цепей

Постоянного тока.

Для электрической цепи, изображенной на рис. 1, выполнить следующее

1) составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для
определения токов во всех ветвях системы;

2) определить токи во всех ветвях системы, используя метод контурных
токов;

3) определить токи во всех ветвях системы на основании метода
наложения;

4) составить баланс мощностей для заданной схемы;

5) результаты расчетов токов по пунктам 2 и 3 представить в виде таблицы
и сравнить;

6) определить ток во второй ветви методом эквивалентного генератора;

7) построить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура,
включающего обе ЭДС.

Е1 = 4ОВ, Е2=60В,

R1 = 18Ом, R2=36Ом,

R3=16Ом, R4=24Ом,

R5=40Ом, R6=34Ом ,

r01 = 2 Ом, r02=4 Ом.

Определить: I1, I2, I3, I4, I5.

 

 

Составить систему уравнений, применяя законы Кирхгофа для определения токов во всех ветвях.

Метод узловых и контурных уравнений основан на применении первого и второго законов Кирхгофа. Он не требует никаких преобразований схемы и пригоден для расчета любой цепи.

При расчете данным методом произвольно задаем направление токов в

ветвях I1, I2, I3, I4, I5.

Составляем систему уравнений. В системе должно быть столько уравнений, сколько цепей в ветвях (неизвестных токов).

В заданной цепи пять ветвей, значит, в системе должно быть пять уравнений (m=5). Сначала составляем уравнения для узлов по первому закону Кирхгофа. Для цепи с п узлами можно составить (n-1) независимых уравнений. В нашей цепи три узла (А,В,С), значит, число уравнений:

n-1 =3 - 1=2. Составляем три уравнения для любых 2-х узлов, например, для узлов 1 и 2.

Узел В: I4=I1+I2

Узел С: I2 = I3+ I5

Всего в системе должно быть пять уравнений. Два уже есть. Три недостающих составляем для линейно независимых контуров. Чтобы они были независимыми, в каждый следующий контур надо включить хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущую.

Задаемся обходом каждого контура и составляем уравнения по второму закону Кирхгофа.

Контур АДСВА - обход по часовой стрелке

E2-E1= I2(R2+r02)-I1(R1+r01)+I3(R3+r03)

Контур АВА’А - обход по часовой стрелке

E1= I1(R1+r01)+I4R4

Контур А’СВА’ - обход против часовой стрелки

Е2=I2(R2+ r02) +I4R4+I5R5

ЭДС в контуре берется со знаком "+", если направление ЭДС совпадает с обходом контура, если не совпадает - знак "-".

Падение напряжения на сопротивлении контура берется со знаком "+", если направление тока в нем совпадает с обходом контура, со знаком "-", если не совпадает.

Мы получили систему из пяти уравнений с шестью неизвестными:

I3 = I1+ I2

I2 = I3+ I5

E2-E1= I2(R2+r02)-I1(R1+r01)+I3(R3+r03)

E1= I1(R1+r01)+I4R4

Е2=I2(R2+ r02) +I4R4+I5R5

 

Решив систему, определим величину и направление тока во всех вет­вях схемы.

Если при решении системы ток получается со знаком "-", значит его действительное направление обратно тому направлению, которым мы за­дались.

2) Определить токи во всех ветвях схемы, используя метод контур­ных токов.

Метод контурных токов основан на использовании только второго за­кона Кирхгофа. Это позволяет уменьшить число уравнений в системе на n - 1 .

Достигается это разделением схемы на ячейки (независимые конту­ры) и введением для каждого контура-ячейки своего тока — контурного тока, являющегося расчетной величиной.

Итак, в заданной цепи (рис. 1.38) можно рассмотреть три контура-ячейки (АДСВА, АВА'А, А'СВА’) и ввести для них контурные токи Ik1, Ik2, Ik3.

Контуры-ячейки имеют ветвь, не входящую в другие контуры — это внешние ветви. В этих ветвях контурные токи являются действительными токами ветвей.

Ветви, принадлежащие двум смежным контурам, называются смежными ветвями. В них действительный ток равен алгебраической сумме контурных токов смежных контуров, с учетом их направления.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа в левой части равенства алгебраически суммируются ЭДС источников, входящих в контур-ячейку, в правой части равенства алгебраически суммируются напряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур, а также учитывает­ся падение напряжения на сопротивлениях смежной ветви, определяемое по контурному току соседнего контура.

 

 

На основании вышеизложенного порядок расчета цепи методом кон­турных токов будет следующим:

стрелками указываем выбранные направления контурных токов Ik1, Ik2, Ik3 в контурах-ячейках. Направление обхода контуров принимаем таким же;

составляем уравнения и решаем систему уравнений или методом подстановки, или с помощью определителей.

 

E1=Ik1(R1+r01+R4)+Ik2R4-Ik3(R1+r01)

E2=Ik2(R2+r02+R4+R5)+Ik1R4+Ik3(R2+r01)

E2-E1=Ik3(R2+r02+R1+r01+R3+R6)-Ik1(R1+r01)+Ik2(R2+r02)

 

Подставляем в уравнение численные значения ЭДС и сопротивлений.

 

40=Ik1(18+2+24)+Ik224-Ik3(18+2)

60=Ik2(36+4+24+40)+Ik124+Ik3(36+4)

60-40=Ik3(36+4+18+2+16+34)-Ik1(18+2)+Ik2(36+4)

 

Или

 

40=Ik144+Ik224-Ik320

60=Ik2104+Ik124+Ik340

20=Ik3110-Ik120+Ik240

 

Сократив первое уравнение на 4, второе на 4, третье на 10, получим:

10=Ik111+Ik26-Ik35

15= Ik16+Ik226+Ik310

2=-Ik12+Ik24+Ik311

Решим систему с помощью определителей. Вычислим определитель системы ∆ и честные определители ∆1, ∆2, ∆3.

       
   


11 6 -5

∆= 6 26 10 =11*26*11+6*10*(-2)+6*4*(-5)-(-2)*26*(-5)-

-2 4 11

-6*6*11-4*10*11=1810

10 6 -5

∆1= 15 26 10 =10*26*11+15*4*(-5)+6*10*2-2*26*(-5)-

2 4 11

-15*6*11-4*10*10=1550

11 10 -5

∆2= 6 15 10 =11*15*11+10*10*(-2)+6*2*(-5)-(-2)*15*(-5)-

-2 2 11

-6*10*11-2*10*11= 525

11 6 10

∆3= 6 26 15 =11*26*2+6*15*(-2)+4*6*10-(-2)*26*10-

-2 4 2

-4*15*11-6*6*2=420

Вычисляем контурные токи:

Ik1=∆1/∆=1550/1810=0,856 А

Ik2=∆2/∆=525/1810=0,290 А

Ik3=∆3/∆=420/1810=0,232 А

Тогда токи ветвей будут равны:

I1= Ik1- Ik3=0,856-0,232=0,624 А

I2= Ik2+ Ik3=0,290+0,232=0,522 А

I3= Ik3=0,232 А

I4= Ik1+ Ik2=0,856+0,290=1,146 А

I5= Ik2=0,290 А

 

3)Определить токи во всех ветвях схемы на основании метода наложения.

По методу наложения ток в любом участке цепи рассматривается как алгебраическая сумма частных токов, созданных каждой ЭДС в отдельности.

а) Определяем частные токи от ЭДС Е1, при отсутствии ЭДС Е2, т.е. рассчитываем цепь по рис. 1.39.

Показываем направление частных токов то ЭДС Е1 и обозначаем буквой I с одним штрихом(‘).

Решаем задачу методом "свёртывания".

R2,02=R2+r02=36+4=40 Ом

R3,6=R3+R6=16+34=50 Ом

 

 

б) определяем частные токи от ЭДС Е2, при отсутствии ЭДС Е1, т.е. рассчитываем цепь по рис.1.40

Показываем направление частных токов по ЭДС Е2 и обозначаем их буквой I с двумя штрихами (“).

Рассчитываем общее сопротивление цепи:

R36=R3+R6=16+34=50 Ом

R1,01=R1+r01=18+2=20 Ом

 

Вычисляем ток источника:

Применяя формулу разброса и I-ый закон Кирхгофа, вычисляем токи ветвей:

Вычисляем токи ветвей исходной цепи (рис. 1.38), выполняя алгебраическое сложение частных токов, учитывая их направление:

4) Составить баланс мощностей для заданной схемы.

Источники Е1 и Е2 вырабатывают электрическую энергию, т.к. направление ЭДС и тока в ветвях с источником совпадают. Баланс мощностей для заданной цепи запишется так:

Подставляем численные значения и вычисляем:

С учетом погрешности расчетов баланс мощностей получился.

 

5) Результаты расчетов токов по пунктам 2 и 3 представить в виде таблицы и сравнить.

Ток в ветви Метод расчёта I1 A I2 A I3 A I4 A I5 A
Метод контурных токов Метод наложения 0,624 0,625 0,522 0,522 0,232 0,232 1,146 1,147 0,290 0,290

 

Расчет токов ветвей обоими методами с учетом ошибок вычислений практически одинаков.

 

 

6) Определить ток во второй ветви методом эквивалентного генератора.

Метод эквивалентного генератора используется для исследования работы какого-либо участка в сложной электрической цепи.

Для решения задачи методом эквивалентного генератора разделим электрическую цепь на две части: потребитель (исследуемая ветвь с сопротивлением R2, в которой требуется определить величину тока) и эквивалентный генератор (оставшаяся часть цепи, которая для потребителя R2 служит источником электрической энергии, т.е. генератором). Получается схема замещения (рис. 1.41).

На схеме искомый ток I2 определим по закону Ома для замкнутой цепи:

I2=Eэ/(R2+rэ)

Где Еэ - ЭДС эквивалентного генератора, ее величину определяют как напряжение на зажимах генератора в режиме холостого хода,

Еэ=Uхх.

rэ - внутреннее сопротивление эквивалентного генератора, его величина рассчитывается как эквивалентное сопротивление пассивного двухполюсника

относительно исследуемых зажимов.

Изображаем схему эквивалентного генератора в режиме холостого хода (рис.1.42), т.е. при отключенном потребителе R2 от зажимов а и б. В этой схеме есть контур, в котором течёт ток режима холостого хода. Определяем его величину:

Зная Ixx, величины сопротивлений и ЭДС, в схеме можно определить Uхх как разность потенциалов между клеммами а и б. Для этого потенциал точки б будем считать известным и вычислим потенциал точки а.


Для расчета внутреннего сопротивления эквивалентного генератора необходимо преобразовать активный двухполюсник в пассивный (рис. 1.43), при этом ЭДС из схемы исключается, а внутренне сопротивление этих источников в схеме остаются.

Вычисляем эквивалентное сопротивление схемы (рис. 1.43) относительно зажимов а и б.

 

 

Зная ЭДС и внутреннее сопротивление эквивалентного генератора, вычисляем ток в исследуемой ветви:


т.е ток в этой ветви получится таким же, как и в пунктах 2 и 3.

7) Построить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего обе ЭДС.

Возьмем контур АДСВА. Зададимся обходом контура по часовой стрелке. Заземлим одну из точек контура, пусть это будет точка А. Потенциал этой точки равен нулю φА=0 (рис. 1.38)

Зная величину и направление токов ветвей и ЭДС, а также величины сопротивлений, вычислим потенциалы всех точек контура при переходе от элемента к элементу. Начнем обход от точки А.

 

 

Строим потенциальную диаграмму. По оси абсцисс откладываем сопротивление контура в той последовательности, в которой производим обход контура, прикладывая, сопротивления друг, к другу, по оси ординат потенциалы точек с учетом их знака.

 

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.