Главная | Обратная связь

Квантовомеханическое описание

Обратимся теперь к квантовомеханической точке зрения. В этом случае состояния ротатора должны описываться волновыми функциями Ф, зависящими только от одной пространственной переменной — угла j. Среди них могут существовать некоторые особые состояния — стационарные, для которых зависимость от времени выражается стандартным образом:

Ф(j,t) = Ф(j) • eхр[i(E/h)t]

Пространственная часть волновой функции должна подчиняться стационарному уравнению Шредингера: НФ(j) = ЕФ(j).

Оператор Гамильтона для плоского вращения включает только оператор кинетической энергии (потенциальная энергия на всей окружности вращения равна 0), и уравнение Шредингера выглядит следующим образом:

Легко заметить, что это уравнение выглядит точно так же, как и для свободной частицы или частицы в ящике. Вся разница только в обозначении переменной — вместо координаты х стоит координата j. Следовательно, и вид решений этого уравнения должен быть совершенно такой же:

Ф(j) = Ае ^imj + Be ^–imj , где m = L/h

Каждая экспонента представляет собой частное решение, а общее решение является суперпозицией частных, причем коэффициенты суперпозиции (А и В) определяются начальными условиями. Заметим, что в этом решении величина p (импульс) заменена на L (момент импульса), а константа k — на другую константу m.

Как и в случае с потенциальным ящиком, в данном случае имеются определенные граничные условия: состояния ротатора отличающиеся между собой целым числом оборотов, физически (т.е. экспериментально) неразличимы. Следовательно, волновая функция должна в точности повторяться через каждое приращение аргумента (угла j) на величину 2p:

Ф(j) = Ф(j + 2p).

Построим две функции для разных аргументов:

Ф(j) = Ae ^imj + Be ^–imj

Ф(j + 2p) = Ae^{im(j + 2p )} + Be^{–im(j + 2p )} = Ae^imje^im2p + Be^–imje^–im2p

Легко заметить, что требуемое равенство этих двух функций будет наблюдаться при условии:

e ^im2p = e^–im2p = 1

Комплексная экспонента равна 1 только тогда, когда ее фаза кратна 2p:

m • 2p = k • 2p , где k — любое целое число.

Отсюда вытекает, что константа m может иметь только целочисленные значения: m = 0, 1, 2, 3 . . . . . . , вследствие чего m называется вращательным квантовым числом. Следовательно, учет граничных условий приводит к выделению некоторых разрешенных значений момента и энергии:

|L| = mh = 0, h , 2h , 3h . . . L_z = ± mh = 0, ±h , ±2h , ±3h . . .

E = L²/2I = b • m² = 0, b, 4b, 9b . .

(здесь b = h²/2I — вращательная постоянная)

Таким образом, получаем дискретный набор стационарных состояний, располагающихся на расходящейся системе энергетических уровней:

В отличие от модели потенциального ящика, энергетические уровни плоского ротатора являются двукратно вырожденными. Вырождение связано с возможностью вращения частицы в двух противоположных направлениях. В модели потенциального ящика коэффициенты суперпозиции для движения частицы направо или налево, жестко заданы: А = –В. В модели же плоского ротатора это коэффициенты могут быть любыми, например A = 1, B = 0 (вращение против часовой стрелки) или A = 0, B = 1 (вращение по часовой стрелке).

Обратимся к рассмотрению волновых функций. Общее решение является суперпозицией двух частных решений:

Ф(j) = Ае ^imj + Be^–imj , где m = L/h

причем здесь на коэффициенты А и В не накладывается дополнительных условий (кроме условия нормировки), вследствие того, что у цилиндрической ямы нет границ и частица не обязана непрерывно изменять направление движения на противоположное). В результате, для заданных значений наблюдаемых Е и L существует целое двумерное пространство стационарных состояний, одним из базисов которого являются специальные состояния с волновыми функциями:

Ф⁺(j) = С⁺ е ^imj ( A = 1, B = 0 )

Ф^– (j) = С^– е^–imj ( A = 0, B = 1 )

Константы С⁺ и С^– нужны для нормировки волновых функций (в данном случае они одинаковы и равны числу (1/2p)^1/2. Графики таких функций можно примерно представить в виде спиралей, навивающихся на окружность вращения (дляФ^– — по часовой стрелке, для Ф⁺ — против часовой стрелки). Частота спиралей определяется значением m. Можно заметить, что при m = 0 обе эти комплексные функции вырождаются в действительные константы:

Ф⁺(j)= Ф^–(j) = (1/2p)^1/2.

Физический смысл выбора именно этих двух состояний в качестве базисных заключается в том, что для них является строго определенным направление вращения частицы, а, следовательно, и ориентация вектора L. Все остальные состояния являются суперпозиционными, и для них определенное значение имеют только энергия и длина (модуль) вектора момента|L|,тогда как при измерении проекции вектора L_z мы будем получать случайным образом два возможных результата: +L (с вероятностью А²) и –L (с вероятностью В²).

В полном соответствии с принципом неопределенности, в базисных состояниях указанного вида строго определено направление вращения частицы, и совершенно не определено положение этой частицы на окружности вращения. Если мы рассчитаем вероятность обнаружения частицы в некоторой определенной точке с заданным значением координаты j,

P (j) = |Ф⁺(j)|²= |Ф^–(j)|² = (1/2p)^1/2 = const

то увидим, что эта вероятность не зависит от положения точки. Другими словами, все положения равновероятны, и частица как бы равномерно "размазана" по всей окружности. Существуют, однако, некоторые суперпозиционные состояния, в которых пространственное положение частицы на окружности более определённо. Это такие состояния, для которых коэффициенты суперпозиции имеют следующие значения:

А = В и Ф'(j) = А (е ^imj + e^–imj ) ,

A = –BиФ''(j) = А (е ^imj – e^–imj ) .

Применив тригонометрическое представление комплексных экспонент, найдем, что обе эти функции действительные:

Ф'(j) = 2А cos (mj) и Ф'(j) = 2iА sin (mj)

Вследствие взаимной ортогональности, эти две функции образуют еще один базис двумерного подпространства состояний с определенными значениями E и L . Для таких стационарных состояний вероятность найти частицу в некоторой определенной точке окружности уже будет зависеть от положения этой точки:

P' (j) = (1/2p) cos² (mj) P'' (j) = (1/2p) sin² (mj)

Т.о. частица "размазана" по окружности не совсем равномерно, а образует в некоторых областях более плотное облако, а в некоторых — менее плотное. Имеются даже такие точки, где плотность облака равна нулю, т.е. облако разделено узловыми поверхностями на части.

Другими словами, здесь также получается стоячая волна с узлами и пучностями (отрезки синусоид, свернутые в кольцо), но расположенная не вдоль прямой, как для частицы в ящике, а вдоль окружности. Смысл квантования, проявляющегося в данном случае, сводится к тому, чтобы на окружности помещалось целое число полуволн, т.е. чтобы при добавлении еще одного целого поворота максимумы и минимумы волны совпадали с предыдущими (только так можно обеспечить стационарность состояния).

Очевидно, что ориентация вектора Lдля таких состояний совершенно не определена: при измерении мы будем получать два результата:

L_z = +mh и L_z = –mh

с одинаковыми вероятностями 1/2.

Подчеркнем то обстоятельство, что при m = 0 эти формулы вырождаются в константы:

Ф'(j) = (1/2p)^1/2 и Ф''(j) = 0.

Можно построить графики и самих волновых функций и их квадратов. Это удобнее сделать в виде т.н. полярных диаграмм, которые строятся следующим образом. Для рассматриваемого значения координаты j проведем вектор именно под этим углом из центра окружности, причем длина этого вектора будет равна величине функции при данном значении j. Концы всех таких векторов и образуют гладкую кривую — полярную диаграмму функции.

Пунктирными прямыми линиями обозначены узловые плоскости.