Здавалка
Главная | Обратная связь

Понятие устойчивости



УСТОЙЧИВОСТЬ САР

 

Для того, чтобы замкнутая САР была работоспособной, она должна быть устойчивой.

Устойчивой является САР, реакция которой на ограниченное воздействие является также ограниченной величиной. Математически это означает, что реакция САР (рис.7.1) на воздействие (при для всех , где M – конечное число) описывается выражением

,

где – конечное число.

Учитывая связь весовой и передаточных функций, можно утверждать, что для того, чтобы САР была устойчивой, импульсная переходная характеристика должна быть абсолютно интегрируемой. Другими словами, если абсолютная площадь, ограниченная импульсной характеристикой w(t), является ограниченной величиной, то САР будет устойчивой.

Например (рис.7.2), САР с импульсной переходной характеристикой w1(t) является устойчивой, поскольку при w1(t) , и площадь, ограниченная импульсной характеристикой w1(t), является ограниченной величиной (интеграл конечный). САР с импульсной характеристикой w2(t) является неустойчивой, поскольку при w2(t) , и интеграл является бесконечным.

В этом плане интегратор как элемент устойчивым назвать нельзя: его импульсная характеристика w3(t) ограничивает бесконечно большую площадь (рис.7.2). Поэтому часто интегратор называют нейтральным звеном.

Площадь, ограниченная импульсной характеристикой, будет конечной, если . В этом случае система будет приходить в состояние равновесия ( ).

На основании изложенного можно считать, что устойчивой является та система, которая, будучи выведенной из состояния равновесия, возвращается в исходное состояние после исчезновения воздействия, выведшего систему из состояния равновесия.

Для определения условия, при котором найдем выражение для w(t), учитывая связь между весовой функцией и ПФ, используя теорему разложения и считая, что все полюсы ПФ простые, причем нулевые полюсы отсутствуют. Тогда

,

где – порядковые номера полюсов ПФ .

В общем случае полюсы – комплексные числа:

.

Тогда

,

где – ограниченная величина.

Теперь из последнего выражения видно, что , т.е. САР будет устойчивой, если вещественные части всех полюсов будут отрицательными ( ).

Если же хотя бы один корень (пусть i-й) имеет положительную вещественную часть ( ), то САР будет неустойчивой, поскольку – в системе будет иметь место расходящийся процесс.

Если хотя бы один корень расположен на мнимой оси ( ), то САР будет неустойчивой, поскольку , и в системе будут иметь место незатухающие автоколебания.

Геометрическая трактовка. Полюсы ПФ замкнутой системы можно изобразить на комплексной плоскости.

Для того, чтобы САР была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все полюсы ПФ замкнутой системы находились в левой полуплоскости комплексного переменного (рис.7.3).

Наличие хотя бы одного полюса в правой полуплоскости – система неустойчива.

Если хотя бы один полюс находится на мнимой оси, то система находится на границе устойчивости. Граница устойчивости обозначается штриховкой в сторону области устойчивости.

Для сложных САР вычисление полюсов для установления их устойчивости или неустойчивости может представлять весьма сложную задачу. Поэтому известно большое количество так называемых критериев устойчивости, основанных на использовании определенных математических закономерностей при исследовании САР на устойчивость. Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости.

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.