Множення і ділення к.ч. в тригонометричній формі

Нехай числа записані в тригонометричній формі: .

Справедливі слідуючі формули:

Таким чином, при множенні ( діленні ) к.ч. їх модулі множаться (діляться ), а аргументи додаються (віднімаються).

З’ясуємо геометричний зміст множення. Нехай (рис 1.8). Очевидно, що одержано поворотом на кут з подальшим розтягом (стиском) в разів.

Отже, множення к.ч. зводиться до повороту і розтягу (стиску) векторів.

Подібний зміст має і ділення к.ч.

Рис.1.8

Приклад.Використовуючи тригонометричну форму, обчислити добуток чисел З’ясувати геометричний зміст операції множення цих чисел.

Розв’язання.

З геометричної точки зору були виконані слідуючі перетворення (рис.1.9):

1) поворот вектора на кут результат повороту;

2) стиск (без зміни напряму) вектора в 2 рази - результат множення.

Рис.1.9

За допомогою рис.1.9 в даному випадку легко перевірити, що .

Приклади для самостійного розв’язання

1.Дані числа та . Необхідно:

1) перетворити їх у тригонометричну форму;

2) знайти їх добуток ;

3) частку ;

4) зробити перевірку, виконавши ці дії над і в алгебраїчній формі.

2.Задовольнити умови прикладу 1, якщо , .

Відповіді.

1.1) , ;

2) ;

3) .

2.1) , ;

2) ;

3) .

4.17. Формула піднесення к.ч.до цілого степеня n

(Формула Муавра): якщо то

(1.3)

Приклад. Нехай . Обчислити .

Розв’язання.

Подамо в тригонометричній формі: застосовуємо формулу (1.3) при :

Приклади для самостійного розв’язання

Обчислити: 1. 2. 3.

Відповіді. 1. .2.–1. 3.104976.

Формула добування коренів

Формула добування коренів го степеня з числа

(1.4)

де символ означає корінь арифметичний з дійсного числа .

Таким чином, при має точно значень.

Приклад. Знайти всі значення .

Розв’язання. Запишемо число 8 в тригонометричній формі:

Застосовуємо формулу (1.4) при де

Одержуємо три значення кореня:

Відповідь:

Приклади для самостійного розв’язання

Знайти всі значення коренів: 1. 2. 3. .

Відповіді. 1. ,де k=0, 1, 2. При k=0: ;

k=1: ;

k=2: .

= , де k=0, 1, 2, 3.

При k=0: ;

k=1: ;

k=2: ;

k=3: .

3. ,

де k=0, 1, 2, 3, 4, 5.

Формула Ейлера

Формула Ейлера має вигляд:

, (1.5)

де будь-яке дійсне число.

Зміст цієї рівності в тому, що вона визначає експоненту (за основою ) з чисто уявним показником, точніше, права частина в (1.5) просто позначена через , але це виправдано тим, що введений таким чином символ буде володіти властивостями експоненти в дійсній області.