Записать компонентные уравнения ветвей связи

Компонентные уравнения (уравнения ветвей) представляют собой математические модели соответствующих ветвей и выражают ток и напряжение каждой ветви через параметры элементов этой ветви. Число таких уравнений равно числу ветвей, а вид каждого из них зависит только от состава ветви, т.е. от входящих в нее идеализированных двухполюсных элементов.

Рассмотрим компонентные уравнения для ветвей с идеализированными элементами.

a. Уравнения, составленные на основании закона Ома:

или , (9)

где - проводимость;

(напряжение – разность потенциалов между точками участка цепи),

φ₁

φ₂

Рис. 12

представляют собой компонентные уравнения ветви, содержащей один идеализированный пассивный элемент – сопротивление:

Пусть ток течет от точки 1 к точке 2 (от более высокого потенциала к более низкому). Следовательно, потенциал точки 1 (φ₁) выше потенциала точки 2 (φ₂) на величину, равную произведению тока I на сопротивление R:

. (10)

В соответствии с определением (под напряжением, на некотором участке электрической цепи понимают разность потенциалов между крайними точками этого участка), напряжение между точками 1 и 2.

. (11)

Следовательно, напряжение на сопротивлении равно произведению тока, протекающего по сопротивлению, на величину этого сопротивления . (12)

b. Компонентные уравнения идеализированных активных элементов.

Идеальный источник напряжения (источник напряжения, источник ЭДС) представляет собой идеализированный активный элемент с внутреннем сопротивлением, равным нулю R_вн = 0, а напряжение на зажимах которого не зависят от тока через эти зажимы. Условное графическое изображение идеального источника напряжения приведено на рис. 13.

Рис. 13

(13)

Стрелка внутри кружка на рисунке указывает направление ЭДС. Для источников постоянного напряжения она направлена от зажима с меньшим потенциалом (φ₂) к зажиму с более высоким потенциалом, в то время как напряжение на внешних зажимах источника направлено от зажима с более высоким потенциалом к зажиму с меньшим потенциалом. Независимо от направления тока в ветви, потенциал точки, где заканчивается стрелка, выше, чем там, где она начинается.

Идеальный источник тока – это идеализированный активный элемент, ток которого не зависит от напряжения на его зажимах, а внутренне сопротивление этого источника равно бесконечности.

Условное графическое изображение идеализированного источника тока приведено на рис. 14.

R_н

R=∞

Рис. 14

I = J (14)

Двойная стрелка на рисунке показывает направление тока внутри источника. У источников постоянного тока это направление совпадает с направлением перемещения положительных зарядов внутри источника, т.е. с направлением от зажима с меньшим потенциалом к зажиму с большим потенциалом. Если подключить нагрузку R_н, то:

. (15)

Определим компонентные уравнения для участков цепей, содержащих ЭДС и сопротивление (рис. 15) (линеаризованного источника ЭДС):

а)

б)

Рис. 15

а) если ЭДС источника имеет одинаковое направление с током, то такой источник называют согласно включенным или работающим «в режиме генератора».

б) если ЭДС источника направлена противоположно току, то такой источник называется встречно включенным или работающим «в режиме приемника ».

На рис. 15 а) и б) показаны участки некоторых цепей, по которым протекает ток I.

Найдем разность потенциалов (напряжение) между точками 1 и 2 для этих участков. По определению,

. (16)

Выразим потенциал точки 1 через потенциал точки 2. При перемещении от точки 2 к точке b встречно направлению ЭДС Е (рис. 15 а)) потенциал точки b оказывается ниже (меньше), чем потенциал точки 2, на величину ЭДС Е:

. (17)

При перемещении от точки 2 к точке b согласно направлению ЭДС Е (см. рис. 15 б)) потенциал точки b оказывается выше (больше), чем потенциал точки 2, на величину ЭДС Е:

. (18)

Так как ток течет от более высокого потенциала к более низкому, в обеих схемах (рис. 15 а), б)), потенциал точки 1 выше потенциала точки b на величину падения напряжения на сопротивлении R:

(19)

Таким образом, для рис. 15 а)

, или (20)

. (21)

А для рис. 15 б)

, или (22)

. (23)

Положительное направление напряжения показывают стрелкой от 1 к 2. Согласно определению напряжения, . поэтому

, (24)

т.е. изменение чередования (последовательности) индексов равносильно изменению знака этого напряжения. Следовательно, напряжение может быть и положительной, и отрицательной величиной.

Таким образом, компонентное уравнение для ветви, в которой ЭДС совпадает с током:

Рис. 16

Будет иметь вид:

. (25)

Источник работает «в режиме генератора».

Компонентное уравнение для ветви, в которой ЭДС направлена против тока:

Рис. 17

Имеет вид:

(26)

Источник ЭДС работает «в режиме приемника энергии».

Из этих уравнений (25, 26) можно записать закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС в общем виде:

(27)

Знак + перед Е, когда ток в участке и ЭДС совпадает по направлению, в противном случае – минус.

Теперь рассмотрим компонентное уравнение для линеаризованного источника тока (реального). Источники, имеющие линейную внешнюю характеристику, в дальнейшем будем называть линеаризованными источниками электрической энергии (реальные).

С достаточной для практики точностью внешние характеристики большинства реальных источников энергии могут быть приближенно представлены прямой линией, пересекающей оси токов и напряжений в точках 1 и 2 (рис. 18):

Рис. 18

U_xx

I_кз

Соответствующие режимам холостого хода ( ) и короткого замыкания источника ( ).

Линеаризованный источник тока может быть представлен моделирующей цепью, состоящей из идеального источника J и внутренней проводимости G_вн.

Действительно уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами 1 (I₁, U₁) и 2 (I₂, U₂) (рис. 18) имеет вид:

. (28)

Используя уравнение (28), выразим ток I как функцию напряжения на зажимах источника:

. (29)

Как следует из выражения (29), ток линеаризованного источника состоит из двух составляющих. Первая I_кз не зависит от напряжения на зажимах источника. Ее можно рассматривать как ток некоторого идеального источника тока .

Вторая составляющая тока прямо пропорциональна напряжению на зажимах источника, поэтому ее можно интерпретировать как ток, через некоторую (внутреннюю) проводимость , к которой приложено напряжение U.

Таким образом, выражению (29) можно поставить в соответствие схему замещения, изображенную на рис. 19.

Рис. 19

J=I_кз

U₂₁

. (30)

Зависимость между током и напряжением на зажимах соответствующей моделирующей цепи определяется уравнением

. (31)

Из уравнения (31) следует, что при неизменном с уменьшением внутренней проводимости источника G_вн внешняя характеристика линеаризованного источника тока приближается к внешней характеристике идеального источника тока. В пределе, при G_вн=0, линеаризованный источник тока вырождается в идеальный источник тока.

Сведем все возможные элементы электрической цепи и их компонентные уравнения в таблицу 1.

Таблица 1

№ п/п

Графическое изображение элемента электрической цепи

Компонентное уравнение

Резистор (сопротивление)

U_R

Идеальный источник ЭДС (R_вн=0)

Линеаризованный источник ЭДС

U₁₂

(реальный) «в режиме» генератора

Линеаризованный источник ЭДС (реальный) «в режиме приемника»

U₁₂

Идеальный источник тока

R_н

Линеаризованный источник тока

(реальный)

U₂₁

G_вн

Примечание! При составлении схемы замещения помнить, что в ветви элементы включаются последовательно. Если в ветви есть источник ЭДС и сопротивление, то сопротивление включается последовательно с ЭДС. Если же в ветви имеется источник тока и сопротивление, то сопротивление включается параллельно источнику тока.

Уравнения цепи в матричной форме, в том числе с узловыми потенциалами и контурными токами, получаются наиболее коротким путем при введении понятия обобщенной ветви-двухполюсника общего вида (рис. 20):

I^/

Рис. 20

Для такой ветви

(32)

(33)

откуда следует, что

, или (34)

. (35)

Эти компонентные уравнения (34) и (35), связывают напряжение и ток ветви.

При составлении расширенных узловых уравнений все ветви схемы разделим на два подмножества:

Рис. 22

и R - ветви

I^/

Рис. 21

g - ветви

Частные случаи обобщенной ветви рис. 20.

Для g – ветви компонентное уравнение имеет вид:

. (36)

Ветвь с идеальным источником тока следует считать g – ветвью, у которой проводимость g=0 (разрыв цепи R=∞).

g=0

Рис. 23

Для R-ветви компонентное управление «в режиме генератора»

и (37)

«в режиме приемника»

. (38)

Ветвь с идеальным источником ЭДС следует считать R-ветвью, у которой сопротивление R=0 заменяется перемычкой:

Рис. 24

Компонентные уравнения в этом случае имеют вид:

. (39)

Применяя вышеизложенную теорию, составим для наших данных ветви и их компонентные уравнения.

Последовательно рассмотрим каждую из ветвей схемы и запишем компонентное уравнение каждой ветви.

Ветвь 1: Дано:

В этой ветви сопротивление и источник тока отсутствуют, включен только идеальный источник ЭДС (таблица 1, пункт 2) (R – ветвь с R=0), между узлами (1) и (4):

I₁

Рис. 25

Е₁

U₁₄=-Е

Компонентное уравнение:

(40)

Ветвь 2: Дано:

В этой ветви отсутствует источник ЭДС, и источник тока . Имеется только сопротивление включенное между узлами (1) и (2):

I₂

Рис. 26

U₁₂

R₂

(1)

(2)

Компонентное уравнение этой ветви (таблица 1, пункт 1):

. (41)

Ветвь 3: Дано:

В этой ветви источник тока отсутствует. В эту ветвь последовательно включены идеальный источник ЭДС и сопротивление между узлами (2) и (3) «в режиме генератора», следовательно:

I₃

Рис. 27

Е₃

(2)

(3)

R₃

Компонентные уравнения для этой ветви (R - ветви), таблица 1, пункт 3, имеет вид:

(42)

. (43)

Ветвь 4: Дано:

В этой ветви имеется только идеальный источник тока , ток которого совпадает с направлением тока I₄ и включен между узлами (3) и (1):

U₃₁

Рис. 28

J₄=1А

I₄

(3)

(1)

Компонентные уравнения этой ветви, см. Таблицу 1, пункт 5 (g - ветвь):

. (44)

. (45)

Ветвь 5: Дано:

В этой ветви источник ЭДС отсутствует. В пятой ветви включен линеаризованный источник тока между узлами (2) и (4): см. таблицу 1, пункт 6 (g - ветвь). Ток I₅ в ветви совпадает с током источника тока J₅:

Рис. 29

J₅

I₅

(2)

(4)

g=1/R₅

Компонентные уравнения будут следующими:

. (46)

. (47)

Ветвь 6: Дано:

В этой ветви источник тока отсутствует. В ней включены последовательно идеальный источник ЭДС и сопротивление R (R - ветвь), между узлами (4) и (3):

I₆

Рис. 30

Е₆

(4)

(3)

R₆

U₄₃=U₆

Компонентные уравнения см. таблицу 1, пункт 3 (источник ЭДС «в режиме генератора»), следовательно:

, (48)

. (49)

Составляем схему замещения электрической цепи, подставляя вместо связей графа конструкции ветвей, полученных выше (рис. 31):

Рис. 31

J₄

E₁

E₆

I₆

R₆

I₄

(1)

(2)

(4)

J₅

I₅

I₃

I₂

R₅

(3)

E₃

R₃

I₁

I_R₅

R₂

Таким образом, в результате проделанной работы, мы получили схему замещения электрической сложной цепи. С учетом этой схемы, продолжим дальнейшее решение поставленной задачи.

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 Следующая ⇒