Определить токи в ветвях

Метод контурных токов сводится к составлению и решению систем уравнений, получаемых только по второму закону Кирхгофа применительно к понятиям контурных токов, сопротивлений и ЭДС.

Вводя понятие о контурных токах, можно свести уравнения, составленные по законам Кирхгофа, к системе уравнений, составленных для независимых контуров, т.е. исключить уравнения, составляемые по первому закону Кирхгофа. Благодаря этому удается снизить порядок системы уравнений.

Рис. 33

E₁

I₃

R₃

I₅

R₅

E₃

III

E₂

R₂

R₁

I₂

R₄

I₃₃

I₂₂

I₁₁

I₄

I₁

Под контурными токами понимают условные (расчетные) токи, замыкающиеся в соответствующих контурах. Рассмотрим схему цепи, имеющую три независимых контура I, II, III.

Будем считать, что в каждом контуре имеется свой контурный ток I₁₁, I₂₂, I₃₃. направление контурных токов выбираем одинаково – по часовой стрелке. Однако в общем случае, и особенно при решении четырехполюсников, направление обхода контура выбирается так, как это удобно, т.е. произвольно. Сопоставляя контурные токи с токами ветвей, можно показать, что значения контурных токов совпадают со значениями действительных токов только во внешних ветвях:

Токи смежных ветвей равны разности контурных токов соседних контуров:

Таким образом, по известным контурным токам легко можно найти действительные токи всех ветвей.

Для определения контурных токов I₁₁, I₂₂, I_33, рис. 33, необходимо составить для трех контуров уравнения по второму закону Кирхгофа.

Для этой цели определяем собственные сопротивления контуров R₁₁, R₂₂, R₃₃, которые равны сумме сопротивлений всех элементов, входящих в контур:

(считаем, что равны нулю – источники ЭДС – идеальные (внутренние сопротивления равны нулю)).

Далее определяем взаимные (общие) сопротивления смежных контуров , представляющие собой сопротивления, входящие одновременно в каждый из двух смежных контуров (сопротивление общей ветви 2-х контуров), таким образом:

(сопротивление R₂ одновременно принадлежит первому I и II контурам); сопротивление связи первого контура со вторым;

(сопротивление R₅ одновременно принадлежит второму II и III контурам); сопротивление связи второго контура с третьим.

Теперь составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для каждого из контуров I, II, III:

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа для контура необходимо учитывать, что алгебраическая сумма падений напряжений выражается произведением тока рассматриваемого контура I_nn на его собственное сопротивление R_nn, взятое со знаком «плюс», и произведением тока другого (смежного) контура I_nn на общее сопротивление контуров R_nm, (где n – 1, 2, 3…; m – 2, 3…) взятое со знаком «минус». Итак, имеем следующие уравнения:

Для I контура:

Для II контура: (78)

Для III контура: .

Или в общем виде:

(79)

Решая эту систему уравнений, можно найти контурные токи, а по ним искомые токи ветвей: .

Уравнения для контурных токов можно записать в матричной форме:

(80)

Здесь [R] – квадратная матрица коэффициентов при неизвестных токах контуров;

[I] – матрица столбец неизвестных контурных токов;

[Е] – матрица столбец известных контурных ЭДС:

Если какие-либо контуры не имеют общих ветвей, то соответствующие элементы матрицы равны нулю.

Так для нашей цепи рис. 33, имеем:

(81)

Решением уравнения (80) будет

, где (82)

- матрица, обратная матрице коэффициентов .

Применим вышеизложенную методику для решения нашей задачи (схемы замещения). Решение проведем, используя метод контурных токов.

Рис. 34

J₄

E₁

E₆

I₆

R₆

I₄

J₅

I₅

I₂

R₅

I₃

E₃

R₃

I₁

R₂

I₁₁

I₂₂

J₄

J₅

IR₅

На рисунке 34 выбраны независимые контуры I, II и их направления обхода (положительные направления контурных токов I₁₁, II₂₂, по часовой стрелке).

Число уравнений по второму закону Кирхгофа равно количеству независимых контуров (контуры, отличающиеся хотя бы одной ветвью).

Для нашей схемы число независимых контуров равно N=2, ветвь с источником тока не может создать независимый контур. Значит и уравнений по второму закону Кирхгофа будет два (N=2).

Контурные токи I₁₁, II₂₂ совпадают со значениями действительных токов только во внешних ветвях:

(83)

Токи смежной ветви равны разности контурных токов соседних контуров:

. (84)

Далее определяем собственные сопротивления контуров (сопротивлений, входящих в замкнутый контур)

. (85)

и взаимные (общие) сопротивления смежных контуров I и II, представляющие собой сопротивления, входящие одновременно в каждый из двух смежных контуров (сопротивление общей ветви 5 (R₅) контуров I и II), таким образом:

. (86)

Теперь составим уравнения по второму закону Кирхгофа для каждого из контуров I и II. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа для контура, необходимо учитывать, что алгебраическая сумма падений напряжений выражается произведением тока рассматриваемого контура (для I контура –I₁₁) на его собственное сопротивление R₁₁ [для второго конура –I₂₂ R₂₂], берется со знаком плюс «+», а произведение тока другого контура (смежного) II. I₂₂ на общее сопротивление контуров , берется со знаком минус «-». Уравнения имеют вид:

, (87)

или

. (88)

Эти уравнения записаны с учетом того, что J₅ как контурный ток «замыкаем» через сопротивление R₅, а J₄, как контурный ток «замыкаем» через

В матричной форме уравнения принимают вид:

(89)

Подставив значения всех параметров в матричное уравнение (89), получим:

(90)

. (91)

Используя сведения по решению уравнений с квадратными матрицами (при помощи определителей), имеем

(92)

. (93)

Рассчитываем токи в ветвях:

(94)

Результат получили тот же, что и при расчете цепи методом узловых потенциалов.

Применим вышеизложенную методику для нашей схемы замещения, но положительные направления контурных токов выберем против часовой стрелки.

Рис. 35

J₄

E₁

E₆

I₆

R₆

I₄

J₅

I₅

I₂

R₅

I₃

E₃

R₃

I₁

R₂

I₁₁

I₂₂

J₄

(4)

(3)

(2)

(1)

I_R5

На рисунке (рис. 35) выбраны независимые контуры I, II и их направления обхода (положительные направления контурных токов I₁₁, I₂₂ против часовой стрелки).

Число уравнений равно числу независимых контуров, ветвь с источником тока не может создать независимый контур (контур, отличающийся от других контуров хотя бы одной ветвью).

Для нашей схемы число независимых контуров N=2. значит и уравнений по второму закону Кирхгофа 2 (два).

Контурные токи I₁₁, I₂₂ совпадают со значениями действительных токов только во внешних ветвях:

. (95)

Токи смежной ветви равны разности контурных токов соседних контуров

. (96)

Далее определяем собственные сопротивления контуров (97)

и взаимные (общие) сопротивлении смежных контуров I и II, представляющие собой сопротивления, входящие одновременно в каждый из двух смежных контуров (сопротивление общей ветви 5 контуров I и II). Таким образом:

. (98)

Теперь составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для каждого из контуров I, II:

. (99)

Эти уравнения записаны с учетом того, что J₅ как контурный ток «замыкаем» через R₅, а J₄ как контурный ток «замыкаем» через . В матричной форме уравнения принимают вид:

. (100)

Подставив значения всех параметров в матричное уравнение (100), получим:

, (101)

. (102)

Используя теорию по решению уравнений при помощи определителей, имеем

(103)

(104)

. Следовательно:

(105)

Данный результат сравниваем с результатом, полученным при решении методом узловых потенциалов и методом уравнений Кирхгофа.

(106)

Как видно из сравнения результаты совпадают с точностью ошибки вычислений. А это вполне удовлетворительно.

12. Определить ток I₃ в третьей ветви методом эквивалентного генератора

Важным принципом эквивалентности, широко применяемым при анализе линейных электрических цепей, является принцип эквивалентного генератора (теорема об активном двухполюснике или теорема Гельмгольца – Тевенена).

Он формулируется следующим образом:

любая линейная электрическая цепь, рассматриваемая относительно двух выводов (активный двухполюсник), эквивалентна реальному источнику с ЭДС, равной напряжению между этими выводами при размыкании внешнего участка цепи, подключенного к этим выводам (режим холостого хода), и внутренним сопротивлением, равным входному сопротивлению пассивного двухполюсника, получающегося при равенстве нулю всех ЭДС для источников ЭДС и токов для источников тока рассматриваемого двухполюсника.

Рис. 36

R₃

E₃

(3)

(2)

Применим принцип эквивалентного генератора для определения тока I₃ в третьей ветви нашей электрической цепи. Для этого выделяем активный двухполюсник и ветвь с ЭДС E₃ и сопротивление R₃ рис. 36:

Рис. 37

R₃

E₃

(3)

(2)

I₃

E_эг

R_внэг

Далее можно получить эквивалентную схему, заменив активный двухполюсник источником ЭДС – Е_эг – эквивалентного генератора и его внутреннего сопротивления – R_внэг.

Теперь легко найти ток I₃ в простой электрической цепи:

. (107)

Чтобы определить ток I₃, необходимо определить параметры эквивалентного генератора и .

Таким образом, главное содержание расчета цепи методом эквивалентного генератора состоит в определении эквивалентных параметров и - внутренней части цепи.

Рис. 38

E₁

I₆

I_R₅

J₄

(1)

U_23хх

I₁

E₆

R₆

(4)

J₅

I₅

I₂

R₅

(2)

R₂

(3)

Вычисляем параметры эквивалентного генератора. Электродвижущая сила эквивалентного генератора

равна напряжению на выводах внутренней цепи

(режим холостого хода), при отключенной внешней части (ветви

) (рис. 38).

Принимаем . (108)

Учитывая, что имеет положительное направление от узла (2) к узлу (3), т.е.

. (109)

(2)

(3)

E_эг

R_вмэг

Рис. 39

Эквивалентный генератор получается, если мы внутреннюю часть схемы между узлами (2) и (3) заменим одним источником питания с ЭДС

и сопротивлением

Учитывая (109), можно записать, что

. (110)

Таким образом для определения необходимо найти потенциалы . Потенциал найдем с учетом того, что в ветви, состоящей из Е₆, R₆, протекает ток J₄, как ток идеального источника тока.

Следовательно

Подставляя значение в формулу (*), получим:

. (111)

Теперь определим потенциал т. (2), по второму закону Кирхгофа, воспользовавшись тем, что для контура (1), (2), (4), (1), можно определить ток I₂, который один и тот же в ветви (1) – (4), т.е. . Потенциал определяем из уравнения . Откуда, с учетом , имеем , откуда . Уравнение для указанного контура, согласно второму закону Кирхгофа, имеет вид: .

Откуда , следовательно

. (112)

Найдем напряжение :

. (113)

Определим потенциал второго узла методом узловых потенциалов. Для этого определяем собственную и общую проводимость.

Собственная проводимость узла (2) равна сумме всех проводимостей ветвей, примыкающих к этому узлу. К узлу (2) примыкает ветвь 2 с проводимостью и ветвь 5 с проводимостью .

Таким образом, собственная проводимость узла (2) в уравнениях записывается со знаком плюс «+» и равна:

. (114)

Теперь определяем общую проводимость между узлами (2) и (4). Узел (2) связан с узлом (4) общей проводимостью

. (115)

Общая проводимость в уравнения цепи вносится со знаком минус «-» - .

Чтобы составить узловые уравнения для потенциала любого узла электрической цепи, необходимо определить собственную проводимость узла (сумма всех проводимостей ветвей, примыкающих к узлу цепи), общую проводимость (проводимость между двумя узлами). Собственные проводимости узлов записываются со знаком плюс, а общие проводимости записываются со знаком минус. Если ЭДС направлены к узлу, берутся со знаком плюс, в противном случае со знаком минус. Также, ток источника тока берется в уравнении со знаком плюс, если он направлен к узлу и с минусом – если он направлен от узла.

Для составления уравнения узлового потенциала необходимо в левой части уравнения взять произведение потенциала узла на собственную проводимость со знаком плюс, произведение потенциала узла , который связан с заданным, на общую проводимость между этими узлами со знаком минус. Итак, левая часть узлового уравнения для узла (2) относительно узла (4) будет иметь вид: . (116)

В правой части берется сумма произведений ЭДС на проводимости ветвей и токов источников тока, при чем, если ЭДС и ток источника тока направлено к узлу, то эти слагаемые берутся со знаком плюс, в противном случае – со знаком минус.

Уравнение правой части для узлового потенциала узла (2) по отношению к узлу (4) будет иметь следующий вид, так как J₅ направлен от узла (2) и ЭДС отсутствуют, равно

. (117)

Полное уравнение для узла (2) относительно узла (4) будет иметь следующий вид:

. (118)

Потенциал узла (4) известен из предыдущего решения:

Далее подставляем значения в уравнение (118): , откуда , следовательно,

и, окончательно,

. (119)

Результат этого метода чуть завышен, это определяется точностью, с которой мы определяем проводимости ветвей. В нашем случае мы взяли точность определения проводимостей до второго знака после запятой . Если вычислять с точностью до 3, 4, 5 знаков, то результат будет точнее.

Таким образом, точность метода узловых потенциалов зависит от точности определения проводимостей ветвей, чем с большей точностью (до 3-го, 4-го, 5-го значащего числа после запятой) мы определяем проводимости ветвей, тем точнее метод узловых потенциалов.

Определяем внутреннее сопротивление эквивалентного генератора , которое равно общему сопротивлению внутренней части цепи относительно узлов (2) и (3) при равенстве нулю всех ЭДС для источников ЭДС и токов для источников тока для рассматриваемого двухполюсника и отключенной внешней части цепи ( ).

Рис. 40

(2)

(3)

R₅

R₂

R₆

Эквивалентная схема двухполюсника для определения

, приобретает вид:

Которая получена из схемы (рис. 38).

Рис. 41

(2)

(3)

R₅

R₂

R₆

Анализируя схемы рис. 40, рис. 41, приходим к выводу, что R₂ и R₅ включены параллельно и к ним последовательно подключено сопротивление R₆. Общее сопротивление относительно узлов (2) и (3) будет равно сумме общего сопротивления параллельно включенных резисторов R₂ и R₅ и сопротивления R₆, следовательно .

Подставляем значение и в уравнение для , получаем:

Таким образом, выходное сопротивление двухполюсника, равное внутреннему сопротивлению равно .

Теперь можно определить ток в третьей ветви .

Результат совпадает со всеми результатами расчета тока I₃ другими методами.

13. Проверяем соблюдение баланса мощности в электрической цепи. Определяем расход энергии за t = 10 с.

Баланс мощностей

Из закона сохранения энергии следует, что сумма мощностей, развиваемых источниками электрической энергии, равна сумме мощностей потребителей .

Причем для источника ЭДС, направления ЭДС которого совпадает с направлением тока, то источник ЭДС доставляет в цепь энергию в единицу времени (мощность), равную , и произведение EI входит в уравнение энергетического баланса с положительным знаком.

Если направление ЭДС и тока противоположны, то источник ЭДС не поставляет мощность в цепь (рис. 43), а потребляет ее , и произведение EI войдет в управление энергетического баланса с отрицательным знаком.

Рис. 42

U_ab

E_эг

+EI

Рис. 44

U_ab

+U_abJ

Рис. 43

U_ab

E_эг

-EI

Рис. 45

-U_ab

-U_abJ

Для источника тока, если направление тока внутри источника J и напряжение между его выводами U_ab противоположны (рис. 44).

Если же направление тока внутри источника J и напряжения между его выводами U_ab совпадают по направлению, то (рис. 45):

Составим баланс мощностей цепи согласно выражению

1. Для первой ветви, в которой имеется идеальный источник ЭДС и направление ЭДС Е₁ совпадает с током I₁, следовательно:

2. Во второй ветви источников электрической энергии нет. Ветвь потребляет электрическую энергию:

3. В третьей ветви имеется источник ЭДС Е₃ и сопротивление R₃. Так как направление тока I₃ встречно направлению ЭДС Е₃, то источник ЭДС не поставляет энергию, а потребляет ее и произведение E₃ I₃ войдет в уравнение энергетического баланса с отрицательным знаком:

Сопротивление R₃ является приемником электрической энергии. Мощность, выделяемая на нем равна:

4. В четвертой ветви имеется идеальный источник тока, причем направление тока J₄ и напряжение по направлению совпадают, следовательно

5. В пятой ветви также имеется источник тока J₅, направление тока внутри источника тока J₅ и направление напряжения не совпадают, значит:

Сопротивление R₅ в этой же цепи является приемником электрической энергии, следовательно,

6. В шестой ветви имеется источник ЭДС Е₆ и сопротивление R₆. Источник ЭДС является источником электрической энергии. Направление ЭДС Е₆ и направление тока I₆ совпадают, следовательно:

Сопротивление R₆ является приемником электрической энергии. Мощность, потребляемая в нем равна .

Проанализировав, каким образом электрическая энергия источников электрической энергии перераспределяется в ветвях электрической цепи составим в соответствии с выражением ; уравнение баланса мощностей:

Подставляем в уравнение баланса мощностей значения всех величин, полученных при решении электрической цепи:

получим:

. Далее

и окончательно:

Таким образом, мы убедились, что при верном решении баланс мощностей цепи выполняется.

В этой связи делаем вывод, что наиболее полной (исчерпывающей) проверкой правильности расчета электрической цепи является выполнения условия баланса мощностей. Поэтому полезно составлять баланс мощностей даже в тех случаях, когда по условию задачи его можно и не составлять.

Определяем расход энергии за 10с.: если для поддержания тока I в каком-либо участке электрической цепи требуется иметь на зажимах участка напряжение U, то работа электрического тока на этом участке за время t может быть выражена формулой , а соответствующая мощность .

Если напряжение в этих формулах выражено в вольтах, ток – к амперах, а время – в секундах, то мощность измеряется в ваттах (Вт), а работа в джоулях (Дж) или ватт - секундах (1 ватт - секунда = 1 вольт – ампер – секунда = 1 джоуль).

Если же время выражать не в секундах, а в часах (ч), то работа получается в более крупных единицах – ватт – часах (Вт ч). Значит 1 Вт ч = 3600 Дж.

Энергия, расходуемая за t = 10 с в электрической цепи при мощности источников 9,78 Вт равна:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 Следующая ⇒