Примеры решения задач
Пример 1. Точечный заряд q находится на плоской границе двух диэлектрических полупространств - с проницаемостями e1 и e2. Найти величину векторов и . Пусть j1 – потенциал электрического поля в первом диэлектрике, j2 – во втором. Потенциалы j1 и j2 удовлетворяют уравнению Лапласа: Dj1 = 0 и Dj2 = 0. В силу сферической симметрии задачи потенциалы j1 и j2 являются функциями только расстояния r от заряда q. Тогда в сферической системе координат и . Решения этих уравнений имеют вид: и . Принимая потенциал бесконечно удаленной точки равным нулю, получаем и . Эти результаты справедливы для любого направления вектора , в том числе и вдоль границы раздела диэлектриков. Следовательно, условие непрерывности потенциалов на границе приводит к равенству: и . Таким образом, . Соответственно, . Для нахождения постоянной С воспользуемся теоремой Гаусса – рассмотрим поток вектора электрической индукции через поверхность сферы произвольного радиуса r с центром в точке расположения заряда (см. рис.1.13): . Подставляя , получаем и . Тогда
Пример 2.Бесконечное однородное полупространство с диэлектрической проницаемостью e граничит с вакуумом, как показано на рис 1.14. Диэлектрик заряжен с объемной плотностью заряда . Определить потенциал и напряженность электрического поля в вакууме и в диэлектрике. Потенциал j1 поля в диэлектрике подчиняется уравнению Пуассона , а потенциал j2 – уравнению Лапласа . Из геометрии задачи видно, что потенциалы обеих областей зависят только от координаты х и, следовательно, оператор Лапласа . Тогда и . Выполняя интегрирование, получаем: и . Примем . Тогда С4 = 0, С2 = и , . Т.к. , то и . Из условия непрерывности нормальных составляющих вектора электрической индукции на границе х = 0 следует, что . Дополнительным условием для нахождения постоянных С1 и С2 может служить физически обоснованное требование обращения в нуль напряженности электрического поля при х ® ¥. Тогда С1 = 0 и . Окончательно получаем . Таким образом, напряженность электрического поля в диэлектрике экспоненциально убывает с увеличением х, а поле в вакууме однородно.
Пример 3. Проводящая заземленная сфера радиуса R помещена в однородное электрическое поле напряженностью Е0. Определить распределение плотности заряда, индуцированного на поверхности сферы. При помещении проводящей сферы в однородное электрическое поле на «полюсах« ее поверхности индуцируются заряды противоположного знака, приводящие к искажению силовых линий поля, как показано на рис.1.7 к примеру 1 п.1.3.1. Введем систему координат так, чтобы ось Оz декартовой системы координат совпадала с направлением вектора (рис.1.15). В силу осевой симметрии распределения поверхностных зарядов потенциал электрического поля зависит только от расстояния от центра сферы r и от азимутального угла q, т.е. . При этом потенциал внутри и на поверхности сферы равен нулю, а вне сферы удовлетворяет уравнению Лапласа . Подстановка решения в форме позволяет разделить переменные и записать два уравнения для функций R(r), Q(q): , , где l - положительная постоянная величина. Решением второго из уравнений при и l = 0, 1, 2,… являются полиномы Лежандра : - для четных l и - для нечетных l. Подставляя значения l в уравнение для функции R(r), получаем уравнение Эйлера , которое приводится к дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами заменой переменной : . Решения уравнения имеют вид: . Таким образом, общим решением уравнения Лапласа является функция . Постоянные интегрирования С1 и С2, а также степень полинома l найдем из граничных условий – равенства потенциала нулю на поверхности сферы r = R и отсутствию искажения внешнего поля на бесконечности. Радиальная составляющая напряженности электрического поля . При r ® ¥ с одной стороны , а с другой - . Следовательно, . Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях cosq в левой и правой частях этого равенства, приходим к выводу, что l = 1. Таким образом, , Теперь , т.е. . Из условия равенства нулю потенциала на поверхности сферы получаем: , т.е. . Окончательно получаем . Тогда на поверхности сферы . С другой стороны, вблизи поверхности сферы . Следовательно, . ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|