Примеры решения задач
Пример.Определить энергию магнитного поля, приходящуюся на единицу длины двухпроводной линии, по которой протекает ток J. Радиус первого проводника а, второго - b, расстояние между осями проводников d >> a, b, магнитная проницаемость материала проводников m. Найти индуктивность единицы длины линии. Индуктивность единицы длины линии может быть определена в соответствии с выражением (2.30) вычислением потока, пронизывающего плоскость контура единичной длины, ограниченного осями токов (см. рис.2.7). При этом энергия, приходящаяся на единицу длины линии (разумеется, L – индуктивность единицы длины линии). Возможен и другой способ расчета требуемых величин – непосредственное вычисление энергии единицы длины линии с последующим определением индуктивности. Первый способ. Из рис. 2.7 видно, что полный поток Ф = Ф1 + Ф2 + Ф0, где Ф1 и Ф2 – потоки, пронизывающие сечения первого и второго проводников соответственно и Ф0 – поток, пронизывающий область между проводнимками. Используя результаты, полученные в примерах 2 п.2.1.1 и 1 п.2.2.1, индукцию магнитного поля в выделенных областях можно представить в виде: , , . Подчеркнем, что в выражениях для В1 и В2 r1 и r2 отсчитываются от осей соответствующих токов (для значения В0 отсчет r не имеет значения). Т.к. векторы и перпендикулярны плоскости, в которой лежат оси токов J1 и J2, то потоки, пронизывающие поверхность рассматриваемого контура единичной длины, , , . Учитывая, что d >> a и b, получаем и . Тогда . Следовательно, и . Второй способ. Вычислим энергию магнитного поля единицы длины линии с помощью формулы (2.28), в которой , т.е. выражение для энергии единицы длины линии принимает вид: , где , А1 – векторный потенциал, создаваемый токами J и –J в области первого проводника, а А2 – в области второго проводника. Здесь А1 = А11 + А21 и А2 = А22 + А12, причем А11 и А22 - векторные потенциалы, создаваемые токами J и -J в области первого и второго проводников соответственно, А21 – векторный потенциал, создаваемый током -J в области первого проводника, а А12 – векторный потенциал, создаваемый током J в области второго проводника. Для указанных векторных потенциалов воспользуемся результатами, полученными в примере п. 2.2.1: при r1 £ a и при r1 ³ a; при r2 £ b и при r2 ³ b. Здесь r1 и r2 отсчитываются от осей соответствующих токов, наличие постоянной С в выражениях для А22 связано с тем, что потенциал отсчитывается от оси первого проводника. Тогда, полагая A22 = 0 при r2 = d , получаем и при r2 £ b, при r2 ³ b. Учитывая, что a, b << d и поэтому пренебрегая изменением векторных потенциалов А11 при r1 > a и А22 при r2 > b в областях, занятых токами _J и J соответственно, получаем: и . Таким образом и . Тогда энергия, приходящаяся на единицу длины линии, будет определяться как Выполняя интегрирование, получаем и .
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|