Примеры решения задач
Пример 1.Определить время, за которое электрон атома водорода в модели Резерфорда упадет на ядро вследствие потери энергии на излучение. Первоначальный радиус орбиты электрона принять равным Боровскому радиусу а. Электрон в атоме движется под действием кулоновской силы, обеспечивающей центростремительное ускорение: , где е – величина заряда электрона, - его радиус-вектор относительно ядра (рис. 4.3). Т.к. масса ядра много больше массы электрона, то центр масс атома совпадает с центром ядра. Поэтому в системе центра масс дипольный момент атома совпадает с дипольным моментом электрона и равен . Индукция магнитного поля дипольного излучения электрона , где r¢ - расстояние от ядра до точки наблюдения, а плотность потока энергии излучения . Энергия излучения, протекающая в единицу времени через площадку на сферической поверхности r¢ = const, . В последнем выражении , т.к. из закона сохранения энергии следует, что поток энергии в единицу времени через любую поверхность r¢ = const остается постоянным и не зависит от времени задержки t. Выполняя интегрирование по полному телесному углу, получаем .
Для электрона в атоме и . Следовательно, энергия, излучаемая электроном атома в единицу времени, равна: . Для определения времени жизни атома найдем полную энергию электрона, находящегося на круговой орбите радиуса r. Учтем, что и . Поэтому кинетическая энергия электрона в атоме . С другой стороны, потенциальная энергия электрона . Следовательно, полная энергия и является функцией расстояния электрона от ядра r.Тогда полученное выражение для энергии, теряемой на излучение в единицу времени, можно преобразовать к виду: . Разделяя переменные, получаем . При выполнении интегрирования учтем, что в начальный момент времени энергия электрона , а падению электрона на ядро соответствует энергия W¢ ® - ¥. Тогда . Выполняя интегрирование, получаем .
Пример 2.Определить среднюю мощность излучения рамки с током . Площадь рамки S. Какой длины должно быть плечо l электрического диполя зарядом q , чтобы его мощность излучения равнялась мощности излучения рамки? Т.к. электрический дипольный момент рамки с током равен 0, то поле излучения определяется ее магнитным моментом : . Здесь - вектор нормали к рамке с током, а - единичный вектор в направлении на точку наблюдения поля (см. рис. 4.4). Плотность потока энергии . Тогда энергия, протекающая в единицу времени через площадку , будет равной
. Интегрирование по телесному углу приводит к . Так же, как и в предыдущем примере, при нахождении мощности излучения рамки в полученном выражении время задержки t можно опустить. Тогда средняя за период мощность излучения рамки с током будет равной . В соответствии с выражением (4.23) для электрического дипольного момента, изменяющегося по гармоническому закону, имеем . Сравнивая результаты, приходим к выводу, что электрический диполь излучает ту же мощность, что и рамка с током при длине плеча диполя . Для гармонически изменяющегося заряда q такого, что , получаем , где l - длина волны электромагнитного излучения. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|