 |
|
Измерение диэлектрической проницаемости
При измерении скалярной диэлектрической проницаемости необходимо обеспечить отсутствие вырождения рабочего вида колебаний. В цилиндрическом резонаторе все виды колебаний с индексом 
невырожденые. Для измерения сравнительно малых значений диэлектрической проницаемости используется вид колебаний 
. При этом образец помещается на оси резонатора в максимуме электрического поля и оказывает существенное влияние на параметры резонатора. Задача определения диэлектрической проницаемости и угла потерь сводится к решению уравнений электромагнитного поля для цилиндрического резонатора и учету влияния на это поле исследуемого образца диэлектрика. Измеряемыми величинами являются резонансная частота 
и добротность пустого резонатора 
, резонансная частота 
и добротность 
резонатора при введенном в резонатор исследуемом образце.
Из теории малых возмущений (см. прил. 1) известно, что
где 
– изменение частоты при внесении диэлектрика; 
– отличие относительной диэлектрической проницаемости вносимого диэлектрика 
от проницаемости среды 
, заполняющей объем резонатора 
; 
– объем диэлектрика.
Выражение для запасенной в резонаторе энергии имеет вид
Добротность пустого резонатора определяется известной формулой
где 
– мощность потерь в резонаторе. При внесении образца диэлектрика в резонатор его добротность изменяется за счет небольших изменений 
и , так что добротность резонатора с образцом будет иметь вид:
Используя выражения (1.18) и (1.19) и предполагая, что 
и 
, что справедливо, если объем внесенного диэлектрика значительно меньше объема резонатора, получим формулу изменения добротности резонатора
 |
где
– изменение мощности потерь за счет внесения диэлектрика.
В цилиндрическом резонаторе при использовании основного, наиболее низкочастотного, вида колебаний (рис. 1.2) электрическое поле имеет только продольную компоненту:
где 
– функция Бесселя нулевого порядка; 
– волновое число; 
– длина; волны рассматриваемого вида колебания; 
– расстояние от оси резонатора до точки наблюдения. В соответствии с (1.21) электрическое поле имеет в центре резонатора максимальную напряженность 
, определяемую подводимой от генератора мощностью, и принимает нулевое значение на стенке резонатора 
.
Поместив вдоль продольной оси такого резонатора образец диэлектрика в виде тонкого цилиндрического стержня радиуса 
и высотой 
(рис. 1.2), считаем, что при выполнении условия
поле в образце остается однородным. Выполняя интегрирование числителя и знаменателя формулы , и используя соотношение 
, получим следующие выражения:
где 
и 
объемы внесенного образца диэлектрика и резонатора, соответственно. Для резонатора с воздушным заполнением 
. Подставив значения интегралов и в формулу , учитывая, что 
и решая полученное уравнение относительно 
, найдем:
Формула позволяет определить диэлектрическую проницаемость образца по результатам измерений резонансных частот пустого резонатора и резонатора с внесенным образцом .
Если внесение исследуемого образца приводит к значительному изменению частоты, то существует возможность уменьшить это изменение, сместив образец в сторону от оси резонатора. Формула для диэлектрической проницаемости при смещении диэлектрика от продольной оси принимает вид:
где 
– коэффициент уменьшения поля, – расстояние от оси резонатора до точки, в которой укреплен образец. При таких положениях образца возрастает погрешность измерения 
за счет ошибки определения коэффициента 
, которая возрастает при увеличении расстояния от оси 
до оси образца.
Другим способом уменьшения ухода частоты является уменьшение высоты образца. При исследовании образцов с 
следует иметь в виду, что поле резонатора искажается тем больше, чем выше значение диэлектрической проницаемости образца. В этом случае теория малых возмущений, использованная при выводе формулы , оказывается неприменимой, что ограничивает возможность использования метода при исследовании диэлектриков с 
. Следует заметить, что наиболее точные результаты получаются при использовании образцов, длина которых равна высоте резонатора.
Уменьшение ухода частоты достигается также уменьшением радиуса образца, что, однако, сопряжено с трудностями изготовления измеряемого образца и увеличением погрешностей, обусловленных качеством обработки образца.
Для получения формулы, связывающей параметры цилиндрического резонатора с тангенсом угла потерь исследуемого диэлектрика 
, воспользуемся выражением . Потери в цилиндрическом образце, расположенном по оси резонатора, могут быть представлены в виде:
Используя выражение для энергии, запасенной в резонаторе, получим формулу для тангенса потерь 
:
Полученная формула для позволяет определить угол потерь исследуемых диэлектриков по измеренным значениям добротности резонатора без образца 
и добротности с образцом 
. Использование этой формулы допустимо для материалов с 
. При более высоких потерях в образце резонансная кривая резонатора с образцом сильно «расплывается» и сам метод малых возмущений перестает быть справедливым.
Точность измерения диэлектрической проницаемости зависит от погрешностей измерений всех величин, входящих в расчетную формулу, и может быть приблизительно оценена в 2…3 %, а точность определения – порядка 10 %. При этом основная ошибка вносится неточностью определения диаметра образца и добротности резонатора.
Цилиндрические резонаторы с колебаниями типа не позволяют исследовать материалы с высокими значениями проницаемости и потерь, так как требуемое для исследований расположение образца в максимуме электрического поля приводит к значительным изменениям параметров резонатора. Например, на длине волны 1 см максимальный радиус образца с 
не должен превышать 0,1 мм, что практически невыполнимо, учитывая необходимую точность изготовления образца.
 |
Применение цилиндрических резонаторов с колебаниями типа
позволяет исследовать образцы со сравнительно высокими потерями 
и значительно большего диаметра без опасности существенного возмущения поля. На рис. 1.3 изображено распределение полей в цилиндрическом резонаторе, возбужденном на волне типа , с образцом внутри. Единственная составляющая электрического поля 
для этого типа колебаний может быть записана в виде
где 
– высота резонатора; 
– значение первого корня функции Бесселя первого рода первого порядка. Вблизи оси резонатора электрическое поле близко к нулю, поэтому его возмущение образцом невелико.
Проводя интегрирование числителя и знаменателя уравнения для измененной частоты при внесенном диэлектрическом образце и применяя рекуррентную формулу
,
получаем формулу для диэлектрической проницаемости цилиндрического образца, ось которого совпадает с продольной осью резонатора:
где
Формулу для вычисления исследуемого материала можно получить, используя соотношения , и . При внесении образца в резонатор изменяется мощность потерь в резонаторе и величину этого изменения можно записать следующим образом:
Энергия, запасенная в резонаторе, определяется следующим выражением:
Подставляя полученные выражения для и 
в формулу и используя числовой коэффициент 
из , после необходимых преобразований получим:
Последнее выражение позволяет получить формулу, связывающую параметры цилиндрического резонатора с тангенсом угла потерь исследуемого диэлектрика.