 |
|
Уравнение электростатики и теорема Гаусса – Остроградского
Закон Кулона в интегральной форме: 
(1)
Закон Кулона в дифферениальной форме: 
. (2)
Напряженность 
есть сила 
, действующая на единичный положительный точечный заряд, помещенный в эту точку.
Переписать ур-е (1) таким образом, чтобы можно было бы решить основную задачу электростатики. Основная задача электростатики состоит в следующем: дано распределение заряда (q, ρ(r), σ(r)), найти распределение электростатического поля.
В векторном анализе Гаусс и Остроградский доказали теорему:
– математическая теорема Г-О.
Правило преобразования поверхностного интеграла к объемному:
S – произвольная замкнутая поверхность,
– векторный элемент площади,
– определенный векторный элемент площади,
, 
Применим иатематическую теоремк Г-О к электростатическому полю, вычислив потоквектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность:
– телесный угол. Полный телесный угол равен 4π, т.е. 
.
Поток вектора напряженности электростатического поля через полную замкнутую поверхность равняется:
– электростатическая теорема Г-О
Теорема Г-О для электростатического поля: поток вектора напряженности электростатического поля, через замкнутую поверхность численно равен заряду q, заключенного внутри выбранной поверхности, деленному на 
.
Особенности:
1. 
2. Распределенный заряд в объеме
- заряд, заключенный внутри объема V, который ограничен поверхностью.
3. Поверхностно распределенный заряд
, σ – кол-во заряда на единицу поверхности.
Замечание!
1. Теорема Г-О есть следстие з-на Кулона. Физический смысл теоремы Г-О состоит в том, что он выражает з-н Кулона в интегральной форме.
2. Теорема Г-О справедлива для любых полей, у которой любая функция убывает как 
– кулоновские функции.
3. Если внутри замкнутой поверхности отсутствуют заряды, то поток равен нулю, т.е. Ф=0.
4. Теорема Г-О используется для решения задач электростатики 
.
Теорему Г-О можно использовать для расчета электростатических полей только в частных случаях, когда известно распределение электростатического поля. В остальных случаях теорема не применима.
5. Теорема Г-О позволяет выявить физический смысл электростатического поля, т.е. электростатическое поле создается электрическими зарядами.