Здавалка
Главная | Обратная связь

однофазного синусоидального тока

Исследование электрических цепей

Электрические цепи, в которых ЭДС, напряжения и токи изменяются во времени по синусоидальному закону, называются цепями переменного синусоидального тока. Значение переменного тока в любой заданный момент времени называют мгновенным током и обозначают как [1-3].

Электромагнитный процесс в электрической цепи, при котором мгновенные значения напряжения и токов повторяются через равные промежутки времени, называется периодическим. Наименьшее время, по истечении которого мгновенные значения периодической величины повторяются, называется периодом . Величина, обратная периоду, т. е. число периодов в единицу времени, называется частотой . Частота измеряется в герцах (Гц).

Преобладающим видом периодического процесса в электрических цепях является синусоидальный режим, при котором все напряжения и токи являются синусоидальными функциями одинаковой частоты. Это возможно только при заданных синусоидальных ЭДС и токах источника. Тем самым обеспечивается наиболее выгодный эксплутационный режим работы электрических установок.

Рассмотрим последовательное соединение резистивного , индуктивного и емкостного элементов в электрической цепи (рисунок 3.1).

 
 

 

 


Рисунок 3.1 – Схема электрической цепи с последовательным

соединением элементов

 

Пусть по цепи протекает ток . Определим приложенное к цепи напряжение по второму правилу Кирхгофа . В рассматриваемой цепи напряжение совпадает по фазе с током на сопротивлении , напряжение опережает ток на индуктивности , а напряжение отстаёт от тока на ёмкости на угол .

Напряжение на выводах всей цепи равно:

где – полное реактивное сопротивление цепи, которое вычисляется по формуле

Уравнение представляет собой тригонометрическую форму записи второго правила Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов.

Если полное реактивное сопротивление цепи , цепь имеет индуктивный характер, если же , цепь имеет емкостной характер. Активное сопротивление всегда положительно.

Амплитудное значение напряжения запишется как

откуда , где − модуль полного сопротивления цепи, а угол можно определить из треугольника сопротивлений как

Второе правило Кирхгофа в комплексной форме имеет вид:

Выразим его через амплитудные значения тока и напряжения

.

Если комплексное сопротивление рассматриваемой цепи равно

,

то закон Ома для амплитудных значений примет вид .

С учетом и закон Ома для действующих значений примет вид

Выразим полное сопротивление цепи в тригонометрической и показательной формах

,

где – модуль комплексного числа, равный , а угол сдвига фаз .

Геометрическая сумма векторов даёт вектор приложенного к цепи напряжения

Рассмотрим параллельное соединение резистивного , индуктивного и емкостного элементов в цепи однофазного синусоидального тока (рисунок 3.2).

Пусть к выводам цепи приложено синусоидальное напряжение вида

.

Мгновенное значение тока определим по первому правилу Кирхгофа

.

 

Рисунок 3.2 – Схема электрической цепи с параллельным

соединением элементов

 

Ток в сопротивлении совпадает по фазе с напряжением , ток в индуктивности отстаёт, а ток в ёмкости опережает напряжение на угол . Суммарный ток в цепи равен

где – полная реактивная проводимость цепи, которая вычисляется по формуле . Уравнение представляет тригонометрическую форму записи первого правила Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений.

Если полная реактивная проводимость цепи , то цепь носит индуктивный характер, если – емкостной характер. Активная проводимость всегда положительна.

Амплитудное значение тока запишется как , где – модуль полной проводимости рассматриваемой цепи. Действующее значение тока равно .

Для рассматриваемой цепи ток отстает от напряжения на угол

.

Запишем первое правило Кирхгофа в комплексном виде

,

где ток в сопротивлении ;

– ток в индуктивности ;

– ток в ёмкости .

Если комплекс полной проводимости цепи записать как

,

где – активная, – реактивная проводимости.

Закон Ома в комплексной форме примет вид , где или , – модуль комплексного числа, – полная проводимость цепи, – угол сдвига фаз в цепи.

Последовательным колебательным контуром называют такую цепь, в которой катушка индуктивности и конденсатор соединены последовательно относительно входных зажимов (рисунок 3.3). В такой цепи можно наблюдать резонанс напряжений. При резонансе напряжений индуктивное и емкостное сопротивления взаимно компенсируются и в результате этого реактивные сопротивления и реактивная мощность цепи равны нулю.

При резонансе напряжений ток и напряжение совпадают по фазе. В этом случае угол сдвига фаз между током и напряжением равен нулю ( ) и полное сопротивление цепи равно ее активному сопротивлению.

 

 


Рисунок 3.3 – Схема последовательного колебательного контура

 

Если то угол при . Следовательно, при резонансе модуль полного сопротивления электрической цепи , так как или , откуда частота при резонансе равна или .

Таким образом, условием возникновения резонанса напряжения в цепи является равенство реактивных сопротивлений , так как в этом случае частота колебательного контура равна частоте сети, питающей данную цепь.

Мгновенные значения энергии магнитного и электрического поля соответственно запишутся:

Т. е. в электрической цепи происходит непрерывное перераспределение энергии магнитного и электрического полей, суммарное значение которой постоянно. Вся энергия, поступающая от источника, в момент резонанса расходуется в сопротивлении .

Отношение напряжения на индуктивности или емкости к напряжению, приложенному к цепи при резонансе, называют добротностью контура или коэффициентом резонанса

где – характеристическое (волновое) сопротивление контура.

Относительной расстройкой частоты по отношению к резонансной частоте контура называют величину .

Величину обратную добротности называют коэффициентом затухания контура .

Полное сопротивление цени минимально при резонансе напряжений, так как ток в цепи достигает своего максимального значения.

Полосу частот вблизи резонанса (рисунок 3.4), на границах которой ток снижается в раз от максимального значения ,принято называть полосой пропускания резонансного контура ,где – нижняя и верхняя граничная частота.

 

Рисунок 3.4 – Полоса пропускания резонансного контура

 

Величина добротности характеризует остроту резонансной кривой (рисунок 3.5).

 

 

Рисунок 3.5 – Резонансные кривые тока в относительных единицах

 

Внутреннее сопротивление источника ЭДС влияет на добротность и полосу пропускания колебательного контура. Чем больше ,тем ниже добротность и шире полоса пропускания.

В условиях близких к резонансу, напряжения и могут быть велики.

Векторная диаграмма тока и напряжения при резонансе напряжений представлена на рисунке 3.6.

 

 

Рисунок 3.6 – Векторная диаграмма при резонансе напряжений

 

Зависимость напряжений на емкости и индуктивности от частоты при резонансе напряжений показана на рисунке 3.7, где – напряжение при резонансе.

 

 

Рисунок 3.7 – Частотные зависимости напряжений на индуктивности и емкости в относительных единицах

 

Рассмотрим параллельный колебательный контур, простейшим видом которого является параллельное соединение индуктивной катушки и конденсатора (рисунок 3.8).

Резонансом токов называют такой режим параллельного колебательного контура, при котором ток в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряжением ( ), а мощность, потребляемая из сети, равна активной мощности контура. Реактивная мощность при резонансе из сети не потребляется.

 

 


Рисунок 3.8 – Параллельный колебательный контур

 

При резонансе токов полная реактивная проводимость цепи .

Определим резонансную частоту контура:

.

После преобразования получаем, что

 

,

откуда , где ; .

Как видно из выражения для резонансной частоты , резонанс токов возможен при одновременном выполнении условий или . Если эти условия не выполняются, то – линейное число. В случае, когда ; , а при , т. е. резонанс токов наступает при любой частоте источника. При этом эквивалентное сопротивление контура не зависит от частоты:

Следовательно, и ток в неразветвленной части цепи не зависит от частоты. Если и – сопротивления, учитывающие потери реальных конденсаторов и индуктивной катушки ( ), то, как правило, при этом, .

В контуре без потерь ( ), , токи и равны по величине и противоположны по фазе.

Эквивалентные сопротивления контура с потерями

,

где .

В идеальном случае, например в радиотехнических устройствах, где применяют контуры с малыми потерями, когда практически сопротивления (или они очень малы по сравнению с сопротивлением ), резонансную частоту можно определить, как и при резонансе в последовательном колебательном контуре, по формуле .

Частотные характеристики, т. е. зависимость тока, реактивных проводимостей от частоты при резонансе тока изображены на рисунке 3.9.

 

 

 


Рисунок 3.9 – Частотная зависимость тока, реактивных проводимостей

при резонансе токов

 

Комплекс полной мощности однофазной цепи синусоидального тока можно определить как

где , , − фазовый сдвиг, − активная мощность электрической цепи, − реактивная мощность электрической цепи.

 





©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.