однофазного синусоидального тока
Исследование электрических цепей Электрические цепи, в которых ЭДС, напряжения и токи изменяются во времени по синусоидальному закону, называются цепями переменного синусоидального тока. Значение переменного тока в любой заданный момент времени называют мгновенным током и обозначают как [1-3]. Электромагнитный процесс в электрической цепи, при котором мгновенные значения напряжения и токов повторяются через равные промежутки времени, называется периодическим. Наименьшее время, по истечении которого мгновенные значения периодической величины повторяются, называется периодом . Величина, обратная периоду, т. е. число периодов в единицу времени, называется частотой . Частота измеряется в герцах (Гц). Преобладающим видом периодического процесса в электрических цепях является синусоидальный режим, при котором все напряжения и токи являются синусоидальными функциями одинаковой частоты. Это возможно только при заданных синусоидальных ЭДС и токах источника. Тем самым обеспечивается наиболее выгодный эксплутационный режим работы электрических установок. Рассмотрим последовательное соединение резистивного , индуктивного и емкостного элементов в электрической цепи (рисунок 3.1).
Рисунок 3.1 – Схема электрической цепи с последовательным соединением элементов
Пусть по цепи протекает ток . Определим приложенное к цепи напряжение по второму правилу Кирхгофа . В рассматриваемой цепи напряжение совпадает по фазе с током на сопротивлении , напряжение опережает ток на индуктивности , а напряжение отстаёт от тока на ёмкости на угол . Напряжение на выводах всей цепи равно: где – полное реактивное сопротивление цепи, которое вычисляется по формуле Уравнение представляет собой тригонометрическую форму записи второго правила Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов. Если полное реактивное сопротивление цепи , цепь имеет индуктивный характер, если же , цепь имеет емкостной характер. Активное сопротивление всегда положительно. Амплитудное значение напряжения запишется как откуда , где − модуль полного сопротивления цепи, а угол можно определить из треугольника сопротивлений как Второе правило Кирхгофа в комплексной форме имеет вид: Выразим его через амплитудные значения тока и напряжения . Если комплексное сопротивление рассматриваемой цепи равно , то закон Ома для амплитудных значений примет вид . С учетом и закон Ома для действующих значений примет вид Выразим полное сопротивление цепи в тригонометрической и показательной формах , где – модуль комплексного числа, равный , а угол сдвига фаз . Геометрическая сумма векторов даёт вектор приложенного к цепи напряжения Рассмотрим параллельное соединение резистивного , индуктивного и емкостного элементов в цепи однофазного синусоидального тока (рисунок 3.2). Пусть к выводам цепи приложено синусоидальное напряжение вида . Мгновенное значение тока определим по первому правилу Кирхгофа .
Рисунок 3.2 – Схема электрической цепи с параллельным соединением элементов
Ток в сопротивлении совпадает по фазе с напряжением , ток в индуктивности отстаёт, а ток в ёмкости опережает напряжение на угол . Суммарный ток в цепи равен где – полная реактивная проводимость цепи, которая вычисляется по формуле . Уравнение представляет тригонометрическую форму записи первого правила Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений. Если полная реактивная проводимость цепи , то цепь носит индуктивный характер, если – емкостной характер. Активная проводимость всегда положительна. Амплитудное значение тока запишется как , где – модуль полной проводимости рассматриваемой цепи. Действующее значение тока равно . Для рассматриваемой цепи ток отстает от напряжения на угол . Запишем первое правило Кирхгофа в комплексном виде , где ток в сопротивлении ; – ток в индуктивности ; – ток в ёмкости . Если комплекс полной проводимости цепи записать как , где – активная, – реактивная проводимости. Закон Ома в комплексной форме примет вид , где или , – модуль комплексного числа, – полная проводимость цепи, – угол сдвига фаз в цепи. Последовательным колебательным контуром называют такую цепь, в которой катушка индуктивности и конденсатор соединены последовательно относительно входных зажимов (рисунок 3.3). В такой цепи можно наблюдать резонанс напряжений. При резонансе напряжений индуктивное и емкостное сопротивления взаимно компенсируются и в результате этого реактивные сопротивления и реактивная мощность цепи равны нулю. При резонансе напряжений ток и напряжение совпадают по фазе. В этом случае угол сдвига фаз между током и напряжением равен нулю ( ) и полное сопротивление цепи равно ее активному сопротивлению.
Рисунок 3.3 – Схема последовательного колебательного контура
Если то угол при . Следовательно, при резонансе модуль полного сопротивления электрической цепи , так как или , откуда частота при резонансе равна или . Таким образом, условием возникновения резонанса напряжения в цепи является равенство реактивных сопротивлений , так как в этом случае частота колебательного контура равна частоте сети, питающей данную цепь. Мгновенные значения энергии магнитного и электрического поля соответственно запишутся: Т. е. в электрической цепи происходит непрерывное перераспределение энергии магнитного и электрического полей, суммарное значение которой постоянно. Вся энергия, поступающая от источника, в момент резонанса расходуется в сопротивлении . Отношение напряжения на индуктивности или емкости к напряжению, приложенному к цепи при резонансе, называют добротностью контура или коэффициентом резонанса где – характеристическое (волновое) сопротивление контура. Относительной расстройкой частоты по отношению к резонансной частоте контура называют величину . Величину обратную добротности называют коэффициентом затухания контура . Полное сопротивление цени минимально при резонансе напряжений, так как ток в цепи достигает своего максимального значения. Полосу частот вблизи резонанса (рисунок 3.4), на границах которой ток снижается в раз от максимального значения ,принято называть полосой пропускания резонансного контура ,где – нижняя и верхняя граничная частота.
Рисунок 3.4 – Полоса пропускания резонансного контура
Величина добротности характеризует остроту резонансной кривой (рисунок 3.5).
Рисунок 3.5 – Резонансные кривые тока в относительных единицах
Внутреннее сопротивление источника ЭДС влияет на добротность и полосу пропускания колебательного контура. Чем больше ,тем ниже добротность и шире полоса пропускания. В условиях близких к резонансу, напряжения и могут быть велики. Векторная диаграмма тока и напряжения при резонансе напряжений представлена на рисунке 3.6.
Рисунок 3.6 – Векторная диаграмма при резонансе напряжений
Зависимость напряжений на емкости и индуктивности от частоты при резонансе напряжений показана на рисунке 3.7, где – напряжение при резонансе.
Рисунок 3.7 – Частотные зависимости напряжений на индуктивности и емкости в относительных единицах
Рассмотрим параллельный колебательный контур, простейшим видом которого является параллельное соединение индуктивной катушки и конденсатора (рисунок 3.8). Резонансом токов называют такой режим параллельного колебательного контура, при котором ток в неразветвленной части цепи совпадает по фазе с напряжением ( ), а мощность, потребляемая из сети, равна активной мощности контура. Реактивная мощность при резонансе из сети не потребляется.
Рисунок 3.8 – Параллельный колебательный контур
При резонансе токов полная реактивная проводимость цепи . Определим резонансную частоту контура: . После преобразования получаем, что
, откуда , где ; . Как видно из выражения для резонансной частоты , резонанс токов возможен при одновременном выполнении условий или . Если эти условия не выполняются, то – линейное число. В случае, когда ; , а при , т. е. резонанс токов наступает при любой частоте источника. При этом эквивалентное сопротивление контура не зависит от частоты: Следовательно, и ток в неразветвленной части цепи не зависит от частоты. Если и – сопротивления, учитывающие потери реальных конденсаторов и индуктивной катушки ( ), то, как правило, при этом, . В контуре без потерь ( ), , токи и равны по величине и противоположны по фазе. Эквивалентные сопротивления контура с потерями , где . В идеальном случае, например в радиотехнических устройствах, где применяют контуры с малыми потерями, когда практически сопротивления (или они очень малы по сравнению с сопротивлением ), резонансную частоту можно определить, как и при резонансе в последовательном колебательном контуре, по формуле . Частотные характеристики, т. е. зависимость тока, реактивных проводимостей от частоты при резонансе тока изображены на рисунке 3.9.
Рисунок 3.9 – Частотная зависимость тока, реактивных проводимостей при резонансе токов
Комплекс полной мощности однофазной цепи синусоидального тока можно определить как где , , − фазовый сдвиг, − активная мощность электрической цепи, − реактивная мощность электрической цепи.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|