Ротор. Теорема Стокса.
Если в движущеёся жидкости с распределением скоростей от до выделить контур Г, а остальную жидкость мгновенно заморозить, то в этом контуре будет продолжаться движение жидкости. Мерой такого действия является произведение скорости жидкости в контуре на длину контура. Эту величину называют циркуляцией вектора по контуру Г. Циркуляция = Циркуляция обладает свойством аддитивности, т.е. циркуляция по контуру Г будет равна сумме циркуляций по контурам Г1 и Г2. Благодаря такому свойству можно ввести понятие удельной циркуляции в точке Р – это векторная величина, называемая ротором или вихрем.
Рис. 6.14- К выводу теоремы Стокса
Рассмотрим циркуляцию по элементарному квадрату в декартовой системе координат. Знак минус ставится тогда, когда направления cx не совпадает с направлением обхода. Учитывая, что , получим: Аналогично для сторон квадрата 2 и 4: , Тогда циркуляция по квадрату будет равна: , где S – площадь квадрата. Разделив циркуляцию на , найдём проекции на оси координат: (1*) (2*) (3*) Любое из выражений (1*) - (3*) можно получить из предыдущего путём циклической системы координат. Для уравнения (1*) предыдущим является уравнение (3*). Таким образом, ротор вектора в декартовой системе координат будет иметь вид: Если известно, что ротор каждой точки поверхности S охватывается контуром Г, то можно вычислить и циркуляцию по этому контуру: Теорема Стокса: циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку вектора rot через площадку S, ограниченную этим контуром. Отметим, что Мы рассмотрим три вида сочетаний, в которые входит оператор (набла) Используя эти сочетания, можно пространственные вариации полей записать в виде независимых от той или иной совокупности осей координат. Формула Стокса.
По определению ротор (вихрь) некоторого вектора :
(36)
Зная ротор вектора в каждой точке некоторой (не обязательно плоской) поверхности S, можно вычислить циркуляцию этого вектора по контуру , ограничивающему S, (контур также может быть не плоским). Для этого разобъём поверхность на очень малые элементы . Ввиду их малости эти элементы можно считать плоскими. Поэтому в соответствии с (36) циркуляция вектора по контуру, ограничивающему , может быть представлена в виде.
(37)
где - положительная нормаль к элементу поверхности .
Зная, что циркуляция по некоторому контуру равна сумме циркуляций по контурам, содержащиеся в данном, можно просуммировать выражение (37) по всем , и тогда получим циркуляцию вектора по контуру , ограничивающему S:
.
Осуществив предельный переход, при котором все стремиться к нулю (число их при этом неограниченно растёт, придём к формуле:
(38) Соотношение (38) носит название теоремы Стокса. Смысл её состоит в том, что циркуляция вектора по произвольному контуру равна потоку вектора через произвольную поверхность S , ограниченную данным контуром.
Теорема Стокса Пусть в пространстве задано векторное поле а — а(г). Построим некоторую поверхность и вырежем из нее посредством контура С часть S (рис. 6.5). Про эту часть поверхности говорят, что она натянута на контур С. Про контур С можно сказать, что он ограничивает поверхность 5. Вырежем из поверхности 5 бесконечно малый прямоугольник площадью dS. Построим декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ее начало О совпало с одной из вершин прямоугольника, а координатные оси х и у проходили через его стороны (рис. 6.14). Другие вершины прямоугольника обозначим А, В и С. Пусть стороны О А и ВС этого прямоугольника, параллельные оси х, равны dx, а стороны АС и СО, параллельные оси у, - dy. При этом вершины прямоугольника будут иметь следующие координаты: A(dx,0,0), B(dx,dy,O), C(O,dy,O). sin a da (6.36) Для бесконечного провода а\ = 0 и (6.36) принимает вид Вычислим циркуляцию ladf вектора а по контуру С\ = ОАВСО. Направим нормаль п к плоскости прямоугольника С\ вдоль оси z где к - единичный орт, направленный вдоль оси z. элемент поверхности будет dS = dx dy - площадь прямоугольника. z k■ Рис. 6.14- К выводу теоремы Стокса Будем обходить контур С\ так, чтобы направление обхода, т.е. направление векторов dl , было связано с направлением нормали п правилом правого винта. В таком случае векторный элемент контура будет dl = Циркуляция вектора а по прямоугольнику С\ равна сумме криволинейных интегралов по его сторонам: dx г на О А , dy j на АВ , — dx -г на ВС , -dy- j на СО. -dy- j на СО dS = dx dy - площадь прямоугольника. z k ■ ■ Так как стороны прямоугольника С\ бесконечно малы, эти интегралы с большой точностью будут равны следующим произведениям: / аЖ = ах(0, 0, O)dx, I аЖ = ay(dx, О, 0) dx ,
А АВ аЖ = -ах(0, dy, 0)dx, f аЖ = - ау(0, О, 0)dx . Подстановка этих произведений в формулу (6.38) дает 1аЖ= - (ах(0, dy, 0) - ах(0, 0, 0)) dx + (ay(dx, 0, 0) - а„(0, 0, 0)) dy. -»w- a,(0, dy, 0) - oe(0, 0, 0) = -~ dy, > ,., t a,,(efa, 0, 0) - а„(0, 0, 0) = -£*- dx , дач дах дх ду Ротор вектора а есть вектор, декартовы координаты которого определены следующей формулой: i j к д_ д_ д_ дх ду dz ах ау az Согласно этой формуле проекция вектора rot а на ось z будет да,, да (rota)* = -г. 9z ду Теперь с учетом формулы (6.37) выражение (6.39) можно записать так: 1аЖ = rota dl . (6.40) Таким образом, циркуляция вектора а по бесконечно малому прямо Произвольную поверхность S можно разрезать на множество бесконечно малых прямоугольников С{. Докажем, что сумма циркуляции вектора а по этим прямоугольникам равна циркуляции вектора а по контуру С, который ограничивает поверхность S (рис. 6.5): Так как получим rot a = dxdy rot a = 2 Ф Sdl = Ф a dl Рассмотрим два соприкасающихся прямоугольника С\ и Съ (рис. 6.15, а). Криволинейные интегралы по совпадающим участкам контуров равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Поэтому их сумма равна нулю. Следовательно, справедливо равенство I аЖ + IаЖ = I аЖ , где С - контур, огибающий оба прямоугольника С\ и Сг (рис. 6.15, б"). С2
A a) iVL б) Рис. 6.15. К выводу теоремы Стокса ц Аналогично, в левой части равенства (6.41) взаимно уничтожаются криволинейные интегралы по совпадающим участкам прямоугольников и остается только интеграл по кривой С, окаймляющей поверхность S. Согласно соотношению (6.40) каждое слагаемое в левой части равенства (6.41) равно элементарному потоку вектора rot а через поверхность dSi, ограниченную прямоугольником С». Так как поверхность dSi есть элемент поверхности S, левая часть равенства (6.41) будет равна полному потоку вектора rot а через поверхность S. Таким образом, доказана теорема Стокса: (6.42) Согласно этой теореме циркуляция вектора а по произвольному замкнутому контуру С равна потоку ротора этого вектора через произвольную поверхность S, натянутую на этот контур (рис. 6.5), при условии, что направление обхода контура (т.е. направление вектора dl) связано с направлением нормали п к поверхности S правилом правого винта.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|