Условия на границе раздела двух магнетиков

Пусть поверхность S является границей раздела двух магнетиков. Будем считать, что на этой поверхности нет свободных токов. Построим небольшой воображаемый цилиндр высотой 26, одна половина которого находится в первом магнетике, а другая - во втором (рис. 7.4). Площадь основания цилиндра равна dS. Применим теорему (6.9) о потоке вектора магнитной индукции:

(7.19)

где в качестве поверхности S возьмем поверхность построенного цилиндра. Поток вектора Вчерез поверхность этого цилиндра равен сумме потоков через его основания и боковую поверхность. При этом равенство (7.19) примет вид

Рис. 7.4- К выводу граничных условий

B₁n₁dS + B₂n₂dS +Ф=0

Где Ф– поток магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра. Устремим δ к нулю. При этом поток Ф обратится в ноль. Учитывая, что вектор n₂ единичной нормали к одной из сторон поверхности противоположен по направлению вектору n₁ нормали другой ее стороне в той же точке

(n₂ = -n₁), придем к уравнению

B₁n₁ = B₂n₁,

Или

B₁ = B₂,

Из которого следует, что нормальная составляющая вектора магнитной индукции при переходе через границу раздела двух веществ не изменяется.

Вычислим теперь циркуляцию вектора напряженности магнитного поля по небольшому прямоугольному контуру ABCDA (рис. 7.4), две стороны которого параллельны поверхности S, но лежат в разных магнетиках, а длина двух других сторон стремится к нулю. По теореме о циркуляции (7.9) вектора напряженности магнитного поля будем иметь

H₁AB + H₂CD= 0

так как на поверхности Sнет свободных токов. Введем единичный вектор τ, касательный к поверхности:

τ= AB/AB

Учитывая, что CD = -AB, преобразуем равенство (7.21) к виду

H₁τ = H₂τ

H_τ₁ = H_τ₂

Согласно этому равенству тангенциальные составляющие вектора напряженности с той и другой стороны поверхности раздела двух магнетиков одинаковы.

Условия (7.20) и (7.22) позволяют исследовать поведение силовых линий магнитного поля у границы раздела двух магнетиков. Если справедливо соотношение (7.12), то условие (7.22) можно записать так:

B₁τ /μ₁ = B₂τ/μ₂

B₁ /μ₁ = B₂/μ₂ (7.23)

где μ₁ и μ₂ - магнитные проницаемости магнетиков по разные сторог границы раздела.

Рис. 7.5. Преломление силовых линий на границе раздела двух магнетиков

На рис. 7.5 изображены силовые линии магнитного поля для случая, когда μ₁ < μ₂.Обозначим углы между силовыми линиями и нормалью к поверхности а₁ и а₂.Из геометрических построений на рис. 7.5 нетрудно получить соотношения

tg а₁ = В_τ1/В_n1 tg а₂ = В_τ2/В_n2

При помощи граничных условий (7.20) и (7.23) найдем, что

tg а₁ / tg а₂ = μ₁/μ₂(7.24)

Из равенства (7.24) следует, что при μ₁ < μ₂имеет место неравенство а₁ < а₂ (рис. 7.5). Если а₁ = 0, то и a₂ = 0. В этом случае тангенциальные составляющие вектора Вравны нулю, а его модуль не изменяется при переходе через границу раздела в силу условия (7.20). Если а₁ = p/2, то и а₂ =p/2. При этом нормальные составляющие вектора Вравны нулю, а модуль магнитной индукции в среде 1 будем в μ₁/μ₂раз меньше, чем в среде 2 согласно (7.23).

На рис. 6.3 показаны силовые линии магнитного поля кругового тока. Вставим внутрь витка с током цилиндр, изготовленный из магнетика с большой магнитной проницаемостью (μ_r >>1). Такие вещества называются ферромагнетиками. Магнитная индукция в центре витка станет больше в μ_rраз. Увеличится также энергия магнитного поля. В таких случаях говорят, что поле стало сильнее. Почему это происходит? Под действием магнитного поля витка с током ферромагнитный цилиндр намагничивается и создает свое магнитное поле, которое может быть даже сильнее поля витка. Силовые линии магнитного поля проходят главным образом внутри цилиндра параллельно его оси (рис. 7.6). Они как бы собрались в параллельный пучок. Магнитное поле вне цилиндра у его боковой поверхности слабее в μ_rраз. Наибольшая магнитная индукция внутри цилиндра и у его торцов. Это свойство используется для создания сильных магнитных полей.

Рис. 7.6. Силовые линии магнитного поля витка с током концентрируются в ферромагнитном сердечнике

Ферромагнетики произвольной формы, внутри которых преимущественно проходят силовые линии магнитного поля, называются магнитными цепями. Простейшая магнитная цепь показана на рис. 7.7. Она представляет собой ферромагнитное ярмо с воздушным зазором. На ярме имеется токонесущая обмотка.

Рассмотрим некоторую среднюю силовую линию магнитного поля, проходящую внутри ферромагнетика и пересекающую воздушный зазор. Пусть ее длина равна l, а ширина зазора - d. Применим теорему (7.7) о циркуляции вектора напряженности магнитного поля. Пусть Н₁ есть напряженность магнитного поля в зазоре, а Н₂ - напряженность поля в ярме. Циркуляция вектора Нпо рассматриваемой силовой линии равна сумме токов, охватываемых этой линией:

Н₁d + Н₂(l-d) = NI, (7.25)

где N - число витков; I - сила тока в обмотке.

Относительную магнитную проницаемость воздуха можно считать равной единице. В рассматриваемом случае соотношение (7.12) приводит к равенства

B₁ = μ_o H₁ , B₂= μ_r μ_o Н₂ .

Рис. 7.7. Простейшая магнитная цепь

Силовые линии в зазоре почти перпендикулярны поверхности магнетика. Поэтому в силу (7.20) магнитные индукции в воздушном зазоре и веществе равны:

В₁=В₂ = В. (7.27)

Разрешив систему (7.25) - (7.27) относительно В, найдем индукцию магнитного поля:

B₁ = μ_o NI/(d+ (l-d)/μ_r)

Из этой формулы видно, что при одном и том же токе в обмотке магнитная индукция тем больше, чем меньше ширина зазора d и чем больше магнитная проницаемость μ_r. Существуют ферромагнетики, для которых μ_r @10⁶/

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

⇐ Предыдущая 11 12 13 14 151617 18 19 20 Следующая ⇒