Главная | Обратная связь

Индуктивность коаксиального кабеля

Коаксиальный кабель представляет собой два длинных соосных прово­дящих цилиндра, пространство между которыми заполнено каким-либо изолирующим материалом с магнитной проницаемостью m. Пусть а - радиус внутреннего цилиндра, а b - внешнего. Длина кабеля обычно во много раз превышает его радиус. Поэтому магнитное поле, создава­емое электрическим током в кабеле, будет таким же как у бесконечно длинного кабеля, если не учитывать искажения поля у его концов.

Найдем индуктивность участка кабеля длиной l. Для этого создадим замкнутую электрическую цепь из внутреннего и внешнего цилиндров кабеля и подключим к этой цепи источник постоянной ЭДС (рис. 8.6, а).Токи, создаваемые этой ЭДС, потекут по поверхностям цилиндров вдоль их оси в противоположных направлениях.

 

а)

В силу цилиндрической симметрии системы силовые линии магнит­ного поля суть семейство окружностей, центры которых лежат на оси симметрии. На рис. 8.6, а изображена одна из силовых линий. Для определения напряженности магнитного поля применим теорему (7.7) о циркуляции вектора Н . В качестве контура интегрирования С выберем силовую линию произвольного радиуса г. Циркуляция вектора напря­женности по такому контуру буд

 

Hdl= H dl =H dl = Н 2pr. (8.33)

 

H

 

 

Рис. 8.6. Коаксиальный кабель

 

Если радиус контура С меньше радиуса внутреннего цилиндра (г < а), то внутри контура С ток не протекает. В случае, когда кон­тур С охватывает оба цилиндра (г > 6), сумма токов равна нулю, так как токи в цилиндрах имеют противоположные направления. Поэтому напряженность магнитного поля Я = 0 при г < а и г > Ь, т.е. магнитное поле внутри малого цилиндра и вне большого отсутствует. Если радиус контура С таков, что а < г < Ь, то такой контур охватывает только ток во внутреннем цилиндре. При этом по теореме (7.7) циркуляция (8.32) будет равна силе тока / в рассматриваемой цепи:

2prН = I.

Таким образом, напряженность магнитного поля внутри коаксиального кабеля

Н = I /2pr.

Плотность энергии магнитного поля в пространстве, где а < r < b, найдем по формуле (8.28):

w = (1/2) mH² = (1/2) m I² /8p² r². (8.35)

 

Найдем энергию магнитного поля внутри кабеля. Для этого рассмо­трим цилиндрический слой, образованный двумя воображаемыми цилин­драми радиусов r и r + dr (рис. 8.6, б).Если длина слоя равна l, то его объем dV = 2prldr. Так как плотность энергии (8.35) зависит только от г, внутри тонкого цилиндрического слоя она будет всюду одна и та же. Поэтому энергия магнитного поля в слое

dW = w(r) dV =(1/2)(m I² /(8p2r²))2prldr

.

Проинтегрировав это выражение по r в пределах от а до b, найдем энер­гию магнитного поля на участке кабеля длиной l:

 

W = (1/4p) m I²l =(1/4p) m I²l ln(b/a) (8.36)

 

С другой стороны, энергию магнитного поля можно определить по формуле (8.26). Приравняем эти выражения и найдем индуктивность участка коаксиального кабеля длиной l:

L= 2W/I² =(1/2p) m l ln(b/a) (8.37)

 

Взаимная индукция

Рассмотрим два контура с токами I₁ и I₂ (рис. 8.7), расположенные на некотором расстоянии друг от друга. Ток в первом контуре созда­ет магнитное поле, поток yкоторого через второй контур, очевидно, пропорционален силе тока I₂

y₂ = L₂₁ I₁ (8-38)

Аналогично, магнитный поток Ф₁ через первый контур поля, создавае­мого током во втором контуре, пропорционален силе тока I₂.

y₁ = L₁₂I₂ (8.39)

 

Коэффициенты пропорциональности L₁₂ и L₂₁ называются взаимной ин­дуктивностью, или коэффициентами взаимной индукции. Они зависят от формы, размеров, взаимного расположения контуров и от магнитной проницаемости среды, в которой находятся контуры.

 

 

Рис. 8.7. Взаимная индукция

Рассмотрим простой пример. Пусть на одном цилиндрическом каркасе имеется две обмотки, образующие два соленоида одинаковой длины l(рис. 8.8). Число витков одного соленоида равно N₁, а второго - N₂. Найдем коэффициенты L₁₂ и L₂₁ для этой системы.

 

 

Рис. 8.8. К вычислению коэффициента взаимной индукции

редположим, что в первом соленоиде течет ток I₁, а во втором - 1₂. В силу (7.17) напряженность магнитного поля тока h внутри соленоида

H₁ = N₁I₁/l

Поток магнитной индукции этого поля через один из витков 2 соленоида

 

Ф₂ = B₁S =m N₁I₁S/l

 

Так как поле внутри соленоида однородно, потоки через все витки оди­наковы. Поэтому потокосцепление

y₂ = N₂ Ф₂ = B₁S =m N₁ N₂I₁S/l

 

L₂₁ =m N₁ N₂S/l

Аналогично, напряженность поля, создаваемого током I₂, будет

Н₂ = N₂I₂/l

 

Поток магнитной индукции этого поля через один из витков первого соленоида

Ф₁ = B₂S =m N₂I₂S/l

Ф1 =

 

y₂ = N₁ Ф₁ = m N₁ N₂I₂S/l

Отсюда найдем, что

L₂₁ = L₁₂ (8.41)

Это равенство справедливо для двух любых контуров и составляет со­держание теоремы взаимности.

Вычислим энергию магнитного поля двух соосных соленоидов. Векто­ры напряженности полей, создаваемых токами I₁ и I₂, внутри соленоидов коллинеарны. Если токи I₁ и I₂ текут в одном направлении, то векто­ры H₁ и Н₂ сонаправлены. В этом случае суммарное магнитное поле характеризуется напряженностью:

 

H = H₁ + Н₂ = (N₁I₁ + N₂I₂)/l (8.40)

 

 

Если же токи I₁ и I₂ текут в разных направлениях, то векторы Н₁ и H₂ направлены противоположно друг другу. При этом модуль напряженно­сти магнитного поля

 

H = |H₁ + Н₂| =| H₁ - Н₂| = (N₁I₁ - N₂ I₂)/l

 

Энергию однородного магнитного поля найдем по формуле (8.28):

 

W = (1/2) mH²V=(1/2) m ( N₁I₁ ± N₂ I₂)²V/l²

При помощи формул (8.22) и (8.40), запишем это выражение так:

W = (1/2) L₁I₁² +(1/2) L₂ I₂² ± L₁₂I₁ I₂

где первое слагаемое есть энергия тока в первом соленоиде, второе -энергия тока во втором, а третье слагаемое называется взаимной энерги­ей. Формула (8.42) справедлива в общем случае для двух произвольных контуров.

Задача. Найти взаимную индуктивность тороидальной катушки и проходящего по ее оси бесконечного прямого провода. Катушка имеет прямоугольное сечение. Внутренний радиус тороида равен а, внешний -b, а его высота - h. Число витков в катушке - N. Магнитная проницае­мость окружающей среды - m.