Затухающие электромагнитные колебания
Соединительные провода и проволока, из которой изготовлена катушка индуктивности, обладают некоторым сопротивлением R. Схема реального колебательного контура, учитывающая это сопротивление, показана на рис. 9.2. Правило Кирхгофа в этом случае Приводит к равенству U + UR = eL, (9.20) где по закону Ома падение напряжения на сопротивлении Ur = RI. При помощи формул (9.3), (9.4) и (9.21) преобразуем равенство (9.20) к виду Q/C + RI = -LdI/dt (9 22)
Рис. 9.2.Колебательный контур
Подстановка в это равенство выражений (9.7) и (9.8) приводит к дифференциальному уравнению
(9.23) , . (9.24)
Нетрудно доказать, что функция U(t) = Uое-βtcos(ωt+a) (9.25) при произвольных значениях Uo и а является решением уравнения (9.23), если частота ω = √ω02 – β2 где ω0 > β. Эта функция описывает так называемые затухающие колебания напряжения на конденсаторе. Ее график изображен на рис. 9.3.
Рис. 9.3. Затухающие колебания напряжения на конденсаторе
Um(t) = Uое-βt (9.27)
называется амплитудой затухающих колебаний. При Uo > 0 это есть монотонно убывающая функция, которая при t →∞ обращается в ноль. Поэтому величину β называют коэффициентом затухания. Уменьшение амплитуды Um(t) с течением времени принято характеризовать еще одной величиной
λ = ln Um(t)/Um(t+T) (9.28)
которую называют логарифмическим декрементом затухания. В этой формуле под знаком логарифма стоит отношение амплитуды колебаний в момент времени t к амплитуде колебаний в момент времени t + T, где
T =2p/ω
- период колебаний. Подставив функцию (9.27) в формулу (9.28),получим
λ = βT
Величина
τ =1/β имеет размерность времени. Найдем отношение двух значений функции (9.27), одно из которых соответствует произвольному моменту времени t, а другое - моменту времени t + τ: Um(t)/Um(t+T) =1/e Таким образом, за время τ амплитуда напряжения на конденсаторе уменьшается в е раз. Величина τ/T =1/ λ - число колебаний, совершаемых за время τ. Это соотношение раскрывает физический смысл логарифмического декремента В качестве характеристики колебательного контура используют также величину Q=p/λ которую называют добротностью контура. Используя полученные ранее формулы, можно записать следующие выражения для добротности: Q=p τ/T = p/βT =ω/2β = √ω02 – β2/2β (9.30)
Если коэффициент затухания мал (β<<ω0), то Q = ω0/2β =(1/R)√L/C (9.31) Формула (9.26) имеет смысл только в том случае, когда коэффициент затухания β меньше собственной частоты ω0 колебаний: β < ω0. (9.32)
Только при этом условии в контуре возможны колебания. Преобразуем неравенство (9.32) при помощи формул (9.24). После элементарных операций придем к неравенству R<Rcr
Rcr = 2√L/C
называется критическим сопротивлением. Таким образом, приходим к заключению, что колебания в контуре возможны, когда его сопротивление R меньше критического. Умножим уравнение (9.22) на I и преобразуем полученное равенство так: Это уравнение можно записать следующим образом:
dW = -Pdt, W = (9.36) - полная энергия контура,
P = RI2 - мощность джоулева энерговыделения, т.е. количество тепла, которое выделяется в проводнике при прохождении по ним электрического тока. Таким образом, приходим к заключению, что энергия контура уменьшается со временем (dW < 0). За время dt энергия W электрического и магнитного полей уменьшается на величину |dW|, которая равна теплу Рdt, выделяющемуся за это время в сопротивлении. Задача 1. Найти зависимость силы тока I в контуре от времени. Задача 2. Установить, как изменяется с течением времени полная энергия W, запасенная в контуре.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|