Дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний
Как было показано в разделе 9.2, напряжение U на обкладках конденсатора, который вместе с катушкой индуктивностью L и сопротивлением R образует колебательный контур, изменяется со временем так, что функция U = U(t) является решением дифференциального уравнения (9.23)
Рассмотрим один из способов отыскания решений этого уравнения. Будем искать решение этого уравнения в виде произведения U(t) = е-βtf (t)
Производные этой функции dU/dt = е-βt ( df/dt - β f (t)) d2U/dt2 = е-βt (d2f/ dt2 - 2 β df/dt -β2 f (t))
Подстановка функции (9.42) и ее производных в уравнение (9.23) приводит к дифференциальному уравнению
d2f/ dt2 + (w02-β2 ) f = 0 . (9.43) При условии, что wo> β , (9.44) уравнение (9.43) представляет собой дифференциальное Уравнение гармонических колебаний d2f/ dt2 + w2 f = 0 . (9.45) где w= √w02-β2 Общее решение уравнения (9.45) имеет вид f (t) = U0 cos(wt + a), где Uo и а - постоянные величины. Подстановка этого выражения в формулу (9.42) приводит к функции U(t) = U0е-βtcos(wt + a), (9.47) которая описывает затухающие колебания напряжения на конденсаторе. В том случае, когда сопротивление контура больше критического, т.е. R > Rkp , (9.48) неравенство (9.44) нарушается. Теперь уравнение (9.43) следуем записать d2f/ dt2 +λ2 f = 0 (9.49) где
λ = √ β2-w02 (9.50) при условии, что λ > w0. Непосредственной подстановкой нетрудно убедиться в том, что общим решением уравнения (9.49) является сумма
f (t) = С1e-λt + С2eλt где С1 и С2 - произвольные постоянные. При этом функция (9.42) будет иметь вид U(t) = С1е-(β+λ)t + С2 e-(β –λ)t . (9.51) Такая функция описывает апериодические изменения напряжения на конденсаторе, с которого стекают накопленные на его обкладках заряды. Возможные графики этой функции изображены на рис. 9.6. U
Рис. 9.6. Зависимость напряжения на конденсаторе от времени Кривая 1 на рис. 9.6 соответствует случаю, когда в момент времени t = 0 конденсатор был заряжен, а ток в контуре был равен нулю. Затем конденсатор стал разряжаться и в контуре появился ток. В некоторый момент времени напряжение на конденсаторе станет равным нулю, но при этом в контуре еще будет идти ток. Поэтому конденсатор снова начнет заряжаться, но в обратной полярности. После того как напряжение на конденсаторе достигнет наибольшего значения, он будет разряжаться. Кривая 2 соответствует случаю, когда в момент времени t = 0 конденсатор не был заряжен, но по контуру шел ток и в катушке было магнитное поле. Затем заряды стали натекать на обкладки коденсатора, т.е. он стал заряжаться. Напряжение на конденсаторе растет до максимума и после этого снижается до нуля. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|