Резонанс напряжения и резонанс тока
Подключим колебательный контур, сопротивление которого равно R, к генератору переменной электродвижущей силы e = eт cos Ωt, где eт и Ω - амплитуда и частота напряжения (ЭДС), вырабатываемого генератором (рис.9.7). В этом случае правило Кирхгофа дает уравнение
Рис. 9.7. Колебательный контур с генератором ЭДС
Q/C + RI = -LdI/dt + eт cos Ωt,
которое преобразуем при помощи формул (9.6) и (9.7) к виду (9.52)
где функция U = U(t) описывает колебания напряжения на конденсаторе. Общее решение этого уравнения представляет собой сумму двух функций: U(t) = Ucв(t) + Uв(t), (9.53) где функция Ucв(t) является общим решением (9.25) уравнения (9.23). Эта функция описывает так называемые свободные колебания. Функция Uв(t) есть частное решение уравнения (9.52). Она описывает вынужденный колебания, обусловленные действием подключенного к контуру генератора. Свободные колебания затухают с течением времени. Вынужденные колебания совершаются до тех пор, пока не перестанет действовать генератор. После того как прекратятся свободные затухающие колебания (т.е. обратится в ноль первое слагаемое в формуле (9.53), описывающее эти колебания), в контуре будут происходить только вынужденные колебания, которые в таком случае называются установившимися. Будем искать частное решение уравнения (9.52), которое описывает установившиеся колебания, в виде U = Uв(t) = Um cos(Ωt + y), где Um - амплитуда вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе, y - начальная фаза этих колебаний. Найдем функции dU/dt = - ΩUm sin (Ωt+ y), d2U/dt2 = - Ω2 Um cos (Ωt+ y), Подстановка функции (9.54) и ее производных в уравнение (9.52) приводит к равенству Um ((w02 -Ω2) cos (Ωt+ y)-2 βΩsin(Ωt+ y)) = w02 eт cos Ωt. Преобразуем это равенство при помощи тригонометрических формул cos (Ωt+ y) =cos Ωt cos y - sinΩtsiny , sin (Ωt+ y) = sin Ωt cos y + cosΩtsiny , Сгруппировав слагаемые, содержащие cos Ωt иsinΩt, получим равенство Um ((w02 -Ω2) cos y -2 βΩsiny)cos Ωt + +Um (-(w02 -Ω2)siny -2 βΩ cosy)sin Ωt = w02 eт cos Ωt. Это равенство будет выполняться при любых значениях времени t, если равны коэффициенты при cos Ωt иsinΩt в левой и правой частях равенства: Um ((w02 -Ω2) cos y -2 βΩsiny) = w02 eт (9.55) Um (-(w02 -Ω2)siny -2 βΩ cosy) = 0 (9.56) Возведем уравнения (9.55) и (9.56) в квадрат и сложим полученные таким
Um2 ((w02 -Ω2)2 +4 β2 Ω2) = w04 eт2
из которого найдем, что амплитуда вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе Um = Um(Ω) = w02 eт /√((w02 -Ω2)2 +4 β2 Ω2) Изуравнения (9.56) найдем начальную фазу y вынужденных колебаний
tg y = - 2 βΩ /(w02 -Ω2) (9.58)
Как видно из формулы (9.57), амплитуда вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе зависит от частоты генератора электродвижущей силы. При Ω = 0 генератор вырабатывает постоянное напряжение eт. В этом случае ток в контуре отсутствует и напряжение на конденсаторе равно напряжению на клеммах генератора Um = eт. При увеличении частоты генератора амплитуда Um вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе увеличивается, достигая наибольшего значения, когда частота генератора принимает значение Ωр, называемое резонансной частотой; а затем при дальнейшем увеличении Ω уменьшается до нуля. График зависимости Um = fm(Ω), определяемой формулой (9.57), представлен на рис. 9.8. Такого вида кривые называются резонансными, а само явление увеличения амплитуды вынужденных колебаний, когда их частота приближается к резонансному значению, - резонансом Um
0 Ωр Ω Рис. 9.8. Резонанс напряжения на конденсаторе
Резонансную частоту Ωр можно найти из условия максимума функции Um = Um(Ω) dUm/dΩ=0 Подставив в это условие производную функции (9.57), получим уравнение -w02 +Ω2 +2 β2 =0 (9.59) из которого найдем, что Ωр = √(w02 - 2 β2)
Этому значению частоты соответствует наибольшее (резонансное) значение амплитуды напряжения
Ump = w02 eт /(2 β √(w02 - β2))
Анализируя формулу (9.59), приходим к выводу, что функция Um = Um(Ω) имеет максимум при условии, что
β <w0/√2 т.е. когда коэффициент затухания β принимает достаточно низкие значения. Если свободные колебания в контуре затухают очень быстро (β >w0/√2), то резонанс невозможен. Чем меньше коэффициент затухания β , тем ближе значение Ω р резонансной частоты к собственной частоте w0 контура и тем больше резонансное значение Ump амплитуды напряжения, как это видно из формулы (9.60). Подставив функцию (9.54) в формулу (9.8), найдем зависимость силы тока от времени
I = Iв(t) = -CΩ Um sin (Ωt+ y) = Im cos (Ωt+ y +p/2),(9.61) которое описывает установившиеся вынужденные колебания силы тока в контуре. Амплитуда этих колебаний, как следует из формул (9.57) и (9.61), будет Im = Im (Ω) = CΩ Um = C Ωw02 eт /( √((w02 -Ω2)2 + 4 β 2 Ω2), (9.62) Нетрудно видеть, что это выражение при любых значениях частоты Ω неотрицательно. При Ω = 0 и Ω →∞ амплитуда силы тока обращается в ноль. Найдем наибольшее значение амплитуды Iт силы тока из условия dIт/dΩ=0. Подставив функцию (9.62) в это условие, после ее дифференцирования и элементарных преобразований полученного уравнения найдем, что амплитуда Iт силы тока достигает наибольшего значения при Ω = w0 т.е. резонансная частота для силы тока равна собственной частоте контура. График функции 1т = Im (Ω) представлен на рис. 9.9. Резонансное значение силы тока Imp = Im (w0) = C w02 eт /(2 β) =eт /R, (9.63) Интересно отметить, что это значение совпадает со значением силы постоянного тока, который протекает по проводнику сопротивления R, когда к нему приложено постоянное напряжение eт . Найдем значения частоты Ω, которым соответствует значение амплитуды силы тока в \/2 раз меньшее резонансного значения: Im (Ω) = Imp/√2 (9.64) При помощи формул (9.62) и (9.63) это уравнение можно записать так: 2√2 β Ω= √((w02 -Ω2)2 + 4 β 2 Ω2) После возведения этого уравнения в квадрат и простых преобразований придем к уравнению (Ω +w0)| Ω -w0| = 2 β Ω . Из этого уравнения найдем, что ширина ΔΩ (рис. 9.9) резонансной кривой на уровне Imp/√2 ΔΩ =2| Ω -w0| = 4 β Ω/(Ω +w0) Так как для частот ΔΩ = (w0- ΔΩ /2 , w0+Ω/2) справедливо приближенное равенство ΔΩ ≈ w0 будем иметь
ΔΩ ≈ 2β. (9,65)
0 w0 Ω Рис. 9.9. Резонанс силы тока в колебательном контуре
При помощи соотношения (9.31), которое справедливо при β<<w0 ,этой формуле можно придать вид ΔΩ/w0 =1/Q
Таким образом, приходим к заключению, что относительная ширина ΔΩ/w0 резонансной кривой обратно пропорциональна добротности конТура Q. Отсюда следует, что чем выше добротность контура, тем "острее" резонансная кривая. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|