Здавалка
Главная | Обратная связь

Резонанс напряжения и резонанс тока



Подключим колебательный контур, сопротивление которого равно R, к генератору переменной электродвижущей силы

e = eт cos Ωt,

где eт и Ω - амплитуда и частота напря­жения (ЭДС), вырабатываемого генератором (рис.9.7). В этом случае правило Кирхгофа дает уравнение

 

 

 

Рис. 9.7. Колебательный контур с генератором ЭДС

 

 

Q/C + RI = -LdI/dt + eт cos Ωt,

 

 

которое преобразуем при помощи фор­мул (9.6) и (9.7) к виду

(9.52)

 

где функция U = U(t) описывает колебания напряжения на конденса­торе. Общее решение этого уравнения представляет собой сумму двух функций:

U(t) = Ucв(t) + Uв(t), (9.53)

где функция Ucв(t) является общим решением (9.25) уравнения (9.23). Эта функция описывает так называемые свободные колебания. Функция

Uв(t) есть частное решение уравнения (9.52). Она описывает вынужден­ный колебания, обусловленные действием подключенного к контуру гене­ратора. Свободные колебания затухают с течением времени. Вынужден­ные колебания совершаются до тех пор, пока не перестанет действовать генератор. После того как прекратятся свободные затухающие колеба­ния (т.е. обратится в ноль первое слагаемое в формуле (9.53), описываю­щее эти колебания), в контуре будут происходить только вынужденные колебания, которые в таком случае называются установившимися.

Будем искать частное решение уравнения (9.52), которое описывает установившиеся колебания, в виде

U = Uв(t) = Um cos(Ωt + y),

где Um - амплитуда вынужденных колебаний напряжения на конденса­торе, y - начальная фаза этих колебаний. Найдем функции

dU/dt = - Um sin (Ωt+ y), d2U/dt2 = - 2 Um cos (Ωt+ y),

Подстановка функции (9.54) и ее производных в уравнение (9.52) приво­дит к равенству

Um ((w02 -Ω2) cos (Ωt+ y)-2 βΩsin(Ωt+ y)) = w02 eт cos Ωt.

Преобразуем это равенство при помощи тригонометрических формул

cos (Ωt+ y) =cos Ωt cos y - sinΩtsiny ,

sin (Ωt+ y) = sin Ωt cos y + cosΩtsiny ,

Сгруппировав слагаемые, содержащие cos Ωt иsinΩt, получим равен­ство

Um ((w02 -Ω2) cos y -2 βΩsiny)cos Ωt +

+Um (-(w02 -Ω2)siny -2 β cosy)sin Ωt = w02 eт cos Ωt.

Это равенство будет выполняться при любых значениях времени t, если равны коэффициенты при cos Ωt иsinΩt в левой и правой частях равен­ства:

Um ((w02 -Ω2) cos y -2 βΩsiny) = w02 eт

(9.55)

Um (-(w02 -Ω2)siny -2 β cosy) = 0 (9.56)

Возведем уравнения (9.55) и (9.56) в квадрат и сложим полученные таким
образом уравнения. Придем к уравнению

 

Um2 ((w02 -Ω2)2 +4 β2 2) = w04 eт2

 

из которого найдем, что амплитуда вынужденных колебаний напряже­ния на конденсаторе

Um = Um(Ω) = w02 eт /√((w02 -Ω2)2 +4 β2 2)

Изуравнения (9.56) найдем начальную фазу y вынужденных колебаний

 

tg y = - 2 βΩ /(w02 -Ω2) (9.58)

 

 

Как видно из формулы (9.57), амплитуда вынужденных колебаний на­пряжения на конденсаторе зависит от частоты генератора электродвижу­щей силы. При Ω = 0 генератор вырабатывает постоянное напряжение eт. В этом случае ток в контуре отсутствует и напряжение на конденса­торе равно напряжению на клеммах генератора Um = eт. При увеличе­нии частоты генератора амплитуда Um вынужденных колебаний напря­жения на конденсаторе увеличивается, достигая наибольшего значения, когда частота генератора принимает значение Ωр, называемое резонанс­ной частотой; а затем при дальнейшем увеличении Ω уменьшается до нуля. График зависимости Um = fm(Ω), определяемой формулой (9.57), представлен на рис. 9.8. Такого вида кривые называются резонансными, а само явление увеличения амплитуды вынужденных колебаний, когда их частота приближается к резонансному значению, - резонансом

Um

 

0 Ωр

Рис. 9.8. Резонанс напряжения на конденсаторе

 

Резонансную частоту Ωр можно най­ти из условия максимума функции Um = Um(Ω)

dUm/dΩ=0

Подставив в это условие производную функции (9.57), получим уравнение

-w02 +Ω2 +2 β2 =0 (9.59)

из которого найдем, что

р = √(w02 - 2 β2)

 

Этому значению частоты соответствует наибольшее (резонансное) значе­ние амплитуды напряжения

 

Ump = w02 eт /(2 β √(w02 - β2))

 

Анализируя формулу (9.59), приходим к выводу, что функция Um = Um(Ω) имеет максимум при условии, что

 

β <w0/√2

т.е. когда коэффициент затухания β принимает достаточно низкие зна­чения. Если свободные колебания в контуре затухают очень быстро (β >w0/√2), то резонанс невозможен. Чем меньше коэффициент за­тухания β , тем ближе значение Ω р резонансной частоты к собственной частоте w0 контура и тем больше резонансное значение Ump амплитуды напряжения, как это видно из формулы (9.60).

Подставив функцию (9.54) в формулу (9.8), найдем зависимость силы тока от времени

 

I = Iв(t) = -C Um sin (Ωt+ y) = Im cos (Ωt+ y +p/2),(9.61)

которое описывает установившиеся вынужденные колебания силы тока в контуре. Амплитуда этих колебаний, как следует из формул (9.57) и (9.61), будет

Im = Im (Ω) = C Um = C Ωw02 eт /( √((w02 -Ω2)2 + 4 β 22), (9.62)

Нетрудно видеть, что это выражение при любых значениях частоты Ω неотрицательно. При Ω = 0 и Ω →∞ амплитуда силы тока обращается в ноль. Найдем наибольшее значение амплитуды Iт силы тока из условия

dIт/dΩ=0.

Подставив функцию (9.62) в это условие, после ее дифференцирования и элементарных преобразований полученного уравнения найдем, что ам­плитуда Iт силы тока достигает наибольшего значения при

= w0

т.е. резонансная частота для силы тока равна собственной частоте кон­тура. График функции 1т = Im (Ω) представлен на рис. 9.9.

Резонансное значение силы тока

Imp = Im (w0) = C w02 eт /(2 β) =eт /R, (9.63)

Интересно отметить, что это значение совпадает со значением силы по­стоянного тока, который протекает по проводнику сопротивления R, ко­гда к нему приложено постоянное напряжение eт .

Найдем значения частоты , которым соответствует значение ампли­туды силы тока в \/2 раз меньшее резонансного значения:

Im (Ω) = Imp/√2 (9.64)

При помощи формул (9.62) и (9.63) это уравнение можно записать так:

2√2 β= √((w02 -Ω2)2 + 4 β 22)

После возведения этого уравнения в квадрат и простых преобразований придем к уравнению

(Ω +w0)| Ω -w0| = 2 β .

Из этого уравнения найдем, что ши­рина ΔΩ (рис. 9.9) резонансной кри­вой на уровне Imp/√2

ΔΩ =2| Ω -w0| = 4 β Ω/(Ω +w0)

Так как для частот

ΔΩ = (w0- ΔΩ /2 , w0+Ω/2)

справедливо приближенное равенство

ΔΩ ≈ w0

будем иметь

 

ΔΩ ≈ 2β. (9,65)

 

 

0 w0

Рис. 9.9. Резонанс силы тока в колебательном контуре

 

 

При помощи соотношения (9.31), которое справедливо при β<<w0 ,этой формуле можно придать вид

ΔΩ/w0 =1/Q

 

Таким образом, приходим к заключению, что относительная ширина ΔΩ/w0 резонансной кривой обратно пропорциональна добротности конТура Q. Отсюда следует, что чем выше добротность контура, тем "острее" резонансная кривая.







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.