И вектор Умова — Пойнтинга
Докажем тождество div [Ж Ж] = Ж rot Ж - Ж rot If . Вычислим векторное произведение векторов Е и Япо Раскроем скобки и сгруппируем полученные слагаемые следующим образом: div [if Я*] = дЕу дЕх dEz дЕу ду ~д7 dHz
ду dz ) * oz ox J \ дх ду Как следует из формулы (10.20), первые три выражения в круглых скобках, следующие за координатами вектора В , есть координаты вектора rot E ,
дЕх ВЕ выражения в круглых скобках, следующие за координатами вектора Е , есть координаты вектора rot Я . Таким образом, тождество (10.22) доказано. Вычислим производную от плотности энергии w по времени t. Согласно формуле (10.11) с учетом формул (10.10) будем иметь dt Преобразуем pfo выражение при помощи уравнений (10.1) и (10.3), запи Получим С учетом тождества (10.22) придем к уравнению (10.23)
Чтобы доказать это, проинтегрируем обе части уравнения (10.23) по некоторому объему V. Получим Левую часть этого равенства можно записать так:
где ■ W(t) = f - энергия электромагнитного поля, заполняющая объем V в момент времени t. Первый интеграл в правой части Р- fjlfdV v есть мощность джоулева энерговыделения, т.е. тепло, которое выделяется в объеме V за единицу времени вследствие прохождения электрического тока по веществу в этом объеме. Интеграл от дивергенции по объему V, используя теорему Остроградского - Гаусса, можно преобразовать в интеграл по поверхности S, ограничивающей этот объем:
Таким образом, придем к уравнению (10.14). 10.5. Ковариантность уравнений Максвелла
Можно показать, что уравнения Максвелла, описывающие электромагнитное поле в вакууме, ковариантны относительно преобразований Лоренца. Это означает, что системы отсчета К к другой К'. Преобразованиям Лоренца соответствуют определенные преобразования величин, характеризующих электромагнитное поле. Пусть некоторое электромагнитное поле в системе отсчета К, характеризуется векторами Е и В напряженностей электрического и магнитного полей. В
К' то же электромагнитное поле будет характеризоваться другими векторами Е' и В'. При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой эти векторы преобразуются так, что Ж'= В результате оказывается, что электромагнитное поле, создаваемое одной и той же системой зарядов, описывается различными функциями div 5* dV = i]Н -Н (t, r) в разных инерциальных системах отсчета. Рассмотрим два тела К и К'. Пусть второе тело движется относительно первого прямолинейно и поступательно с постоянной скоростью V. Построим две прямоугольные декартовы системы координат К и К', связанные с этими телами (рис. 10.1). Событие А, произошедшее в некоторой точке пространства Р, характеризуется наблюдателем в системе отсчета К координатами х, у и z этой точки и моментом времени t. Это же событие А характеризуется наблюдателем в системе отсчета К1 координатами х', у' и z' точки Р и моментом времени t'. Связь между величинами х, у, z,t и х', у', z', t' осуществляется посредством преобразований Лоренца где
Эти формулы описывают переход от одной инерциальной системы отсчета к другой. Рис. 10.1. Две инерциалъные системы отсчета
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|