ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО И ПАРАЛЛЕЛЬНОГО КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ LC – КОНТУРОВСтр 1 из 2Следующая ⇒
Цель работы: Изучение резонансных и фильтрующих свойств параллельного и последовательного контуров, измерение их основных параметров, снятие частотных и переходных характеристик. Компьютерное моделирование лабораторного эксперимента.
1. Свободные колебания в LC – контуре Простой и широко используемой в радиоэлектронике линейной системой является колебательный контур. Он содержит конденсатор С, индуктивность L и сопротивление R. Пусть в момент времени t=0 на конденсаторе имеется заряд qo = CUo. Найдем закон изменения во времени заряда на конденсаторе.
ÇÇÇÇ L С R
На основании второго закона Кирхгофа: . Учитывая, что , и вводя обозначения ( - коэффициент затухания, - собственная циклическая частота контура), получим:
Если » , решение уравнения может быть представлено в виде: , где . Таким образом, при » зависимость величины заряда на конденсаторе от времени имеет характер затухающих колебаний, частота которых несколько меньше собственных колебаний контура . Учитывая начальные условия t = 0, q = q0 , при » можно считать: . Закон изменения силы тока i = q0ω0e-αtcos(ω0t + π/2).
Зная, что q0 = CU0 и ω0 = , получим: . Следовательно, ток в цепи также совершает затухающие колебания, начальная амплитуда которых . Величина , имеющая размерность сопротивления, называется характеристическим (волновым) сопротивлением контура. Волновое сопротивление контура – это индуктивное или емкостное сопротивление току резонансной частоты: . Кроме коэффициента затухания , используют логарифмический декремент затухания: Величина обратная , , определяет число периодов, за которое амплитуда колебаний убывает в е раз. Важным параметром колебательного контура является добротность, характеризующая относительную убыль энергии в процессе колебаний.
Энергия, запасенная колебательной системой, равна максимальной энергии, накопленной конденсатором или катушкой индуктивности: Энергия, теряемая в контуре за период колебаний, равна: , где R – активное сопротивление, определяющее полную мощность Р, теряемую в цепи: Используя эти положения, получим выражение для добротности: .
2. Вынужденные колебания в последовательном контуре
Подключим контур к источнику гармонического сигнала с амплитудой Em с начальной фазой φe L ÇÇÇÇ
e C
R
Тогда дифференциальное уравнение примет вид: Воспользовавшись методом комплексных амплитуд дифференциальное уравнение можно представить в виде: , откуда следует, что Это есть закон Ома для последовательного колебательного контура. - импеданс последовательного контура. Зная, что , модуль полного комплексного сопротивления будет иметь вид: , а фаза: . На рис. 1 приведена частотная зависимость реактивного сопротивления последовательного контура. Xc X ωL Из условия (ωL – 1/ωC) = 0 X=ωL – 1/ωC определяется резонансная частота контура. ωo ω 1/ωC Рис. 1 Последовательный колебательный контур есть линейный четырехполюсник: ÇÇÇÇ L
Uвх C Uвых R
Комплексный коэффициент передачи такой системы: . Представив его в показательной форме, получим . Модуль комплексного коэффициента передачи и его фаза примут вид , . Выражение K=1/ωCZ – есть амплитудно-частотная характеристика, а φк(ω) – фазово-частотная характеристика контура. Для определения этих выражений найдем модуль и аргумент коэффициента передачи в узкой полосе частот в окрестностях резонансной частоты контура ωо. Пусть ω = ωо + Δω, Δω « ωо. Введем понятие (ω – ωо)/ω = Δω/ωо = ξ – относительная расстройка контура. Учитывая эти понятия, получим для Полагая, что , а , получим , откуда Подставим Z и φz (ω) в выражение для K и φк (ω). , Амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики последовательного колебательного контура приведены на рис. 2. K=Qо Без учета сопротивления ис- точника сигнала при ξ = 0 Kгр=K/ (ω = ωo) модуль - добротности. Полоса пропус- кания контура как полосового -xгр. xгр. x фильтра при jк определится выражением ξ -π/2
Рис. 2.
Или, переходя к частоте f, выражение для полосы пропускания примет вид Δfпр = fo / Qo. В реальной ситуации сопротивление генератора Rг не является нулевым и внесет вклад в формулу добротности: . Следовательно, для получения или сохранения высокого значения добротности системы сопротивление генератора не следует делать большим.
3. Фильтрующие свойства параллельного колебательного контура Коэффициент передачи параллельного контура как четырехполюсника: . Для нахождения надо предварительно найти импеданс параллельного контура , где , - импедансы двух параллельных ветвей. Rг
L C e Rн R
С учетом этого . В наиболее интересном, с практической точки зрения, случаи, когда выражение для можно упростить. Знаменатель его равен импедансу последовательного колебательного контура, который при имеет вид . С учетом того, что ωL » R выражение для примет вид: . Комплексное сопротивление можно представить в виде: , для чего умножим числитель и знаменатель на и в итоге получим: , где . Таким образом, как реактивное, так и активное эквивалентные сопротивления параллельного контура зависят от частоты. Это отличает его от последовательного контура, у которого активное сопротивление частотно независимо. На резонансной частоте , а Rэ имеет максимальное значение, равное . На рис. 3 приведены графики функций и , нормированные на . RэR/ρ2
0,5
ξ -1/2Q 1/2Q XэR/ρ2 Рис. 3 Рассчитаем теперь коэффициент передачи параллельного контура: . Представим в показательной форме , выразим модуль и аргумент коэффициента передачи параллельного контура в виде: Для нахождения полосы пропускания определим расстройку ξгр, при которой модуль коэффициента передачи уменьшается в раза по сравнению с его резонансным значением (ξ = 0). . Полоса пропускания контура тем ближе к собственной частоте контура , чем меньше отношение . При Rг→0 полоса пропускания неограниченно возрастает, и контур полностью утрачивает свои избирательные свойства. При использовании контура как фильтра в электронных устройствах необходимо учитывать влияние на его избирательные свойства не только внутреннего сопротивления источника сигнала, но также сопротивление цепей, являющихся нагрузкой фильтра. Если к контуру подключена нагрузка Rн, импеданс контура будет иметь вид: , где - импеданс контура без нагрузки. С учетом этого . Введем обозначения: , получим , что эквивалентно ранее выведенному соотношению для контура без нагрузки с учетом замены и . Поэтому сразу можно записать коэффициент передачи: или , где . Модуль коэффициента передачи . Полоса пропускания нагруженного контура: . Из соотношения следует, что если внутреннее сопротивление генератора сигнала или сопротивление нагрузки сравнимы с ρ, они расширяют полосу пропускания параллельного контура, ухудшают его избирательные свойства. Влияние генератора или нагрузки можно уменьшить, используя частичное включение параллельного контура со стороны генератора или нагрузки.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|