Здавалка
Главная | Обратная связь

ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО И ПАРАЛЛЕЛЬНОГО КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ LC – КОНТУРОВ



Цель работы: Изучение резонансных и фильтрующих свойств параллельного и последовательного контуров, измерение их основных параметров, снятие частотных и переходных характеристик. Компьютерное моделирование лабораторного эксперимента.

 

1. Свободные колебания в LC – контуре

Простой и широко используемой в радиоэлектронике линейной системой является колебательный контур. Он содержит конденсатор С, индуктивность L и сопротивление R. Пусть в момент времени t=0 на конденсаторе имеется заряд qo = CUo. Найдем закон изменения во времени заряда на конденсаторе.

 

ÇÇÇÇ

L

С

R

 

 

На основании второго закона Кирхгофа:

.

Учитывая, что , и вводя обозначения ( - коэффициент затухания, - собственная циклическая частота контура), получим:

Если » , решение уравнения может быть представлено в виде:

, где .

Таким образом, при » зависимость величины заряда на конденсаторе от времени имеет характер затухающих колебаний, частота которых несколько меньше собственных колебаний контура . Учитывая начальные условия t = 0, q = q0 , при » можно считать: .

Закон изменения силы тока i = q0ω0e-αtcos(ω0t + π/2).

 

Зная, что q0 = CU0 и ω0 = , получим:

.

Следовательно, ток в цепи также совершает затухающие колебания, начальная амплитуда которых . Величина , имеющая размерность сопротивления, называется характеристическим (волновым) сопротивлением контура. Волновое сопротивление контура – это индуктивное или емкостное сопротивление току резонансной частоты:

.

Кроме коэффициента затухания , используют логарифмический декремент затухания:

Величина обратная , , определяет число периодов, за которое амплитуда колебаний убывает в е раз.

Важным параметром колебательного контура является добротность, характеризующая относительную убыль энергии в процессе колебаний.

 

 

Энергия, запасенная колебательной системой, равна максимальной энергии, накопленной конденсатором или катушкой индуктивности:

Энергия, теряемая в контуре за период колебаний, равна:

,

где R – активное сопротивление, определяющее полную мощность Р, теряемую в цепи:

Используя эти положения, получим выражение для добротности:

.

 

2. Вынужденные колебания в последовательном контуре

 

Подключим контур к источнику гармонического сигнала с амплитудой Em с начальной фазой φe

L

ÇÇÇÇ

 

e C

 

R

 

Тогда дифференциальное уравнение примет вид:

Воспользовавшись методом комплексных амплитуд дифференциальное уравнение можно представить в виде:

,

откуда следует, что

Это есть закон Ома для последовательного колебательного контура. - импеданс последовательного контура. Зная, что , модуль полного комплексного сопротивления будет иметь вид:

,

а фаза: .

На рис. 1 приведена частотная зависимость реактивного сопротивления последовательного контура.

Xc X ωL

Из условия (ωL – 1/ωC) = 0

X=ωL – 1/ωC определяется резонансная

частота контура.

ωo ω

1/ωC

Рис. 1

Последовательный колебательный контур есть линейный четырехполюсник:

ÇÇÇÇ

L

 

Uвх C Uвых

R

 

 

Комплексный коэффициент передачи такой системы:

.

Представив его в показательной форме, получим

.

Модуль комплексного коэффициента передачи и его фаза примут вид , .

Выражение K=1/ωCZ – есть амплитудно-частотная характеристика, а φк(ω) – фазово-частотная характеристика контура. Для определения этих выражений найдем модуль и аргумент коэффициента передачи в узкой полосе частот в окрестностях резонансной частоты контура ωо.

Пусть ω = ωо + Δω, Δω « ωо. Введем понятие (ω – ωо)/ω = Δω/ωо = ξ – относительная расстройка контура.

Учитывая эти понятия, получим для

Полагая, что , а , получим

, откуда

Подставим Z и φz (ω) в выражение для K и φк (ω).

,

Амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики последовательного колебательного контура приведены на рис. 2.

K=Qо Без учета сопротивления ис-

точника сигнала при ξ = 0

Kгр=K/ (ω = ωo) модуль -

добротности. Полоса пропус-

кания контура как полосового

-xгр. xгр. x фильтра при

jк определится выражением

ξ

-π/2

 

 

Рис. 2.

 

Или, переходя к частоте f, выражение для полосы пропускания примет вид Δfпр = fo / Qo.

В реальной ситуации сопротивление генератора Rг не является нулевым и внесет вклад в формулу добротности:

.

Следовательно, для получения или сохранения высокого значения добротности системы сопротивление генератора не следует делать большим.

 

 

3. Фильтрующие свойства параллельного колебательного контура

Коэффициент передачи параллельного контура как четырехполюсника: . Для нахождения надо предварительно найти импеданс параллельного контура , где , - импедансы двух параллельных ветвей.

Rг

 
 

 


 

L C

e Rн

R

 

С учетом этого . В наиболее интересном, с практической точки зрения, случаи, когда выражение для можно упростить. Знаменатель его равен импедансу последовательного колебательного контура, который при имеет вид .

С учетом того, что ωL » R выражение для примет вид:

.

Комплексное сопротивление можно представить в виде:

, для чего умножим числитель и знаменатель на и в итоге получим:

,

где .

Таким образом, как реактивное, так и активное эквивалентные сопротивления параллельного контура зависят от частоты. Это отличает его от последовательного контура, у которого активное сопротивление частотно независимо.

На резонансной частоте , а Rэ имеет максимальное значение, равное .

На рис. 3 приведены графики функций и , нормированные на .

RэR/ρ2

 

0,5

 

ξ

-1/2Q 1/2Q

XэR/ρ2

Рис. 3

Рассчитаем теперь коэффициент передачи параллельного контура:

.

Представим в показательной форме , выразим модуль и аргумент коэффициента передачи параллельного контура в виде:

Для нахождения полосы пропускания определим расстройку ξгр, при которой модуль коэффициента передачи уменьшается в раза по сравнению с его резонансным значением (ξ = 0).

.

Полоса пропускания контура тем ближе к собственной частоте контура , чем меньше отношение . При Rг→0 полоса пропускания неограниченно возрастает, и контур полностью утрачивает свои избирательные свойства.

При использовании контура как фильтра в электронных устройствах необходимо учитывать влияние на его избирательные свойства не только внутреннего сопротивления источника сигнала, но также сопротивление цепей, являющихся нагрузкой фильтра. Если к контуру подключена нагрузка Rн, импеданс контура будет иметь вид: , где - импеданс контура без нагрузки. С учетом этого .

Введем обозначения:

,

получим , что эквивалентно ранее выведенному соотношению для контура без нагрузки с учетом замены и . Поэтому сразу можно записать коэффициент передачи:

или , где

.

Модуль коэффициента передачи .

Полоса пропускания нагруженного контура:

.

Из соотношения следует, что если внутреннее сопротивление генератора сигнала или сопротивление нагрузки сравнимы с ρ, они расширяют полосу пропускания параллельного контура, ухудшают его избирательные свойства. Влияние генератора или нагрузки можно уменьшить, используя частичное включение параллельного контура со стороны генератора или нагрузки.

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.