 |
|
Схема гибели и размножения
Вид графа состояний для так называемой схемы гибели и размножения представлен на рис. 3.
… …
S0 S1 S2 Sk Sn-1 Sn
… …
Особенность этого графа состоит в том, что все состояния системы можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний связано прямо и обратной стрелкой с каждым из соседних состояний, а крайние состояния (S0, Sn) – только с одним соседним состоянием.
Для рассматриваемой схемы предельные вероятности состояний 
определяются из системы уравнений
,
,
……………….. ( * )
,
…………………
.
При этом учитывается условие нормировки вероятностей 
.
В общем случае для любого k от 1 до n: 
.
Характеристика простейших систем массового обслуживания
Одной из разновидностей потоков событий являются простейшие потоки. Для них интервал между событиями имеет показательное распределение (время обслуживания распределено по показательному закону).
Пусть имеется СМО с n каналами, на которые поступает поток заявок с интенсивностью 
. Заявки обслуживаются с интенсивностью 
, где 
- среднее время обслуживания одной заявки.
Требуется определить предельные вероятности состояний, а также следующие характеристики СМО:
A – абсолютную пропускную способность, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых единицу времени;
Q – относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;
Pотк – вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;
- среднее число занятых каналов.
Решение
Пронумеруем возможные состояния системы следующим образом:
- в СМО нет ни одной заявки,
- в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны),
…………………
- в СМО находится k заявок (k каналов заняты, остальные свободны),
…………………
- СМО находится n заявок (все n каналов заняты).
Граф состояний данной системы соответствует схеме «гибели и размножения» (рис. 3).
Система будет переходить из любого левого состояния в соседнее правое с интенсивностью .
Проставим интенсивности у нижних стрелок. Пусть система находилась в состоянии (занят один канал). Освобождение канала (переход в состояние ) будет происходить с интенсивностью 
. В состоянии 
заняты два канала. Переход в состояние (освобождение одного любого канала) будет происходить с интенсивностью 
. Суммарный поток обслуживаний трех каналов составляет 
, k каналов - 
.
После определения интенсивностей переходов для расчета предельных вероятностей можно использовать формулы для схемы гибели и размножения (*).
Окончательно имеем (**)
, где 
- приведенная интенсивность потока заявок.
Формулы (**) называются формулами Эрланга.
Имея рассчитанные предельные вероятности, определяем интересующие характеристики эффективности СМО.
Отказ в обслуживании заявки происходит тогда, когда в момент поступления заявки все n каналов заняты. Такой ситуации соответствует состояние системы . Тогда 
Отсюда определяем относительную пропускную способность – вероятность того, что заявка будет обслужена: 
.
Абсолютная пропускная способность определяется по формуле 
.
Среднее число занятых каналов равно 
.