 |
|
Задача 2 об одноканальной СМО с неограниченной очередью
Пусть имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложено никаких ограничений (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). Заявки на обслуживание поступают с интенсивностью 
. Поток обслуживания имеет интенсивность 
.
Требуется найти предельные вероятности состояний СМО и рассчитать следующие характеристики ее эффективности:
- среднее число заявок в системе,
- среднее время пребывания заявки в системе,
- среднее число заявок в очереди,
- среднее время ожидания обслуживания,
- вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).
Решение
Поскольку очередь неограниченна, не имеет смысла определять абсолютную A и относительную Q пропускные способности СМО – каждая заявка рано или поздно будет обслужена.
Пронумеруем состояния системы следующим образом:
- канал свободен,
- канал занят (обслуживает заявку), очереди нет,
- канал занят (обслуживает заявку), в очереди одна заявка,
…………………
- канал занят, k-1 заявок стоит очереди,
…………………
Теоретически число состояний бесконечно, поскольку нет ограничений по длине очереди. Это схема гибели и размножения с бесконечным числом состояний. Поток заявок переводит систему слева направо (рис. 3) с интенсивностью , справа налево – поток обслуживаний с интенсивностью 
(система одноканальная).
Предельные вероятности в подобной системе существуют не всегда, а только когда систем не перегружена и 
.
Использовавшаяся в задаче 1 формул для расчета 
в даном случае превращается в бесконечную геометрическую прогрессию. Суммируя прогрессию при получаем 
, откуда 
.
Для других вероятностей получим формулы 
или окончательно 
Среднее число заявок системе 
.
Далее, по формуле Литтла, среднее время пребывания заявки в системе 
.
Вероятность того, что канал занят 
, следовательно среднее число заявок под обслуживанием равно 
, а среднее число заявок в очереди 
.
Среднее время пребывания заявки в очереди (среднее время ожидания обслуживания) можно определить по формуле Литтла: 
.